Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ
321
чается, что некоторое пространство размерности, большей п — г, содержится в (п — г)-мерном пространстве, чего быть не может.
Если все коэффициенты у; е (14) положительны, то в случае г = п форма / называется положительно определенной, а в случае г < п — полуопределенной. Положительно определенные формы характеризуются тем, что на любом векторе иф О они принимают положительное значение; полуопределенные формы характеризуются тем, что их значения не всегда положительны, но всегда ^=0.
Положительно определенная форма, как это немедленно следует из (14), после присоединения к полю К величин У41 ПРИ‘ водится к «единичной форме»:
Е (и, и) = ^ $?
Аналогом квадратичных форм являются эрмитовы формы. Чтобы получить их, присоединим к упорядоченному полю К квадратный корень 6 из какого-либо отрицательного элемента а поля К, например в = У — 1. О величинах поля К будем говорить, что они «вещественны», чтобы отличать их от величин поля К (б); в приложениях поле К большей частью является полем вещественных чисел и 0 = У — 1.
С каждым числом с = а-\-ЬВ сопряжено число е = а — ЬВ. Произведение сс = а2 — Ь282 всегда вещественно и ^=0, причем знак равенства возможен лишь при с = 0.
Под эрмитовой формой мы понимаем выражение
Н (и, и) = ^У^ (^/А = ^А/)’
Значение формы Н на произвольном векторе и всегда вещественно.
Построив
Н (иф'ки, и Яу) = 22 + ^22 +
“Ь ^ 2 2 ^1к^ск + ^22 получим в качестве коэффициента при Я билинейную форму Н (и, у) = 22/1«с^а-Имеет место равенство
Н (V, и) = Н (и, о).
При линейном преобразовании переменных с-п где преобразуются, конечно, сопряженным преобразованием с матрицей Р=||л^||, матрица Н эрмитовой формы меняется так:
Н'=Р+АР,
где Р+ = Р‘ — матрица, транспонированная и сопряженная к Р.
322
Линейная алгебра
(ГЛ. XII
Наши предыдущие рассмотрения о представлении квадратичных форм в виде суммы квадратов остаются справедливыми и для эрмитовых форм. Нормальная форма выглядит в данном случае так:
Г
Н (и, «) = 2]'У^/С; (у1 вещественны). (15)
1
Форма Н вновь называется положительно определенной, если все значения Н (и, и) положительны, за исключением случая, когда и = 0 или когда г = п и коэффициенты у1} ..., у„ положительны. После присоединения к основному полю квадратных корней из у* положительно определенная форма приводится к «единичной форме»
Е (и, и) = 2 С;С;.
Последующие рассуждения справедливы в равной степени для эрмитовых и для квадратичных форм. Мы будем говорить о формах эрмитовых, а для того чтобы перевести доказываемые предложения на случай квадратичных форм, надо выбирать коэффициенты в поле К и отбросить надстрочные черты в записях.
Мы будем выбирать конкретную, большей частью положительно определенную эрмитову форму б (и, и) ранга п в качестве основной формы и будем обозначать через б матрицу ее коэффициентов ||?г/Л1- Если, в частности, б (и, и) — единичная форма, то О —единичная матрица Е. Два вектора и, V будут называться ортогональными, если в (и, с) ~ 0. В этом случае и б {и, и) = 0. Векторы, ортогональные к фиксированному вектору и Ф 0, составляют линейное подпространство; оно называется подпространством, ортогональным к вектору и. Если форма б положительно определена, то всегда б (и, и) Ф 0, так что сам вектор и в этом случае не принадлежит ортогональному ему подпространству ип-^- Базис, состоящий из п попарно ортогональных векторов п1( ..., сп, который используется для представления формы в нормальном виде (15), называется полной ортогональной системой векторов. Ортогональная система называется нормированной, если
б(Цу, 0,) = 1.
Линейные преобразования А, удовлетворяющие равенству
б (Ли, п) = б (и, Ас) (для всех и и и), (16)
называются эрмитово симметрическими или просто симметрическими. Вот как выглядит в расписанном виде последнее равенство:
ёиаус,^ =
ё/кС/анЪ,
или
2 ?“ач = 2 ё)каы,
I к
§ 90]
КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ
323
ИЛИ
(17)
Если, в частности, С —единичная форма, то условие симметрии выглядит просто:
чем и объясняется термин «симметрическое».
Линейные преобразования А, относительно которых основная форма б(н, и) инвариантна, т. е.
называются унитарными, а в вещественном случае — ортогональными. Очевидно, что тогда и б(Л«, Аи) = в(и, и). В частности, если в — Е, чего всегда можно добиться в положительно определенном случае, то высказанное условие выглядит так:
А+А=Е или Л+ = Л-1 или АА+ = Е.
Расписывая подробно, получаем «условия ортогональности»
Вещественное ортогональное преобразование с определителем 1 называется вращением.
Если симметрическое или унитарное преобразование А переводит отличный от нуля вектор и в кратный ему:
т. е. если А оставляет инвариантной прямую, порожденную вектором и, то и ортогональное к и подпространство остается инвариантным относительно А.
Доказательство. Если V принадлежит пространству /?„_!, т. е. С(м, и) = 0, то для симметрического преобразования Л имеет место система равенств
Вектор иф 0 со свойством (19) называется собственным вектором преобразования А\ число А называется соответствующим собственным значением.
