Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
і 0, л-<0, /+ (лг) = (28)
\f(x), х>0.
Ее преобразованием Фурье является функция
со
F+(k) = -^-\f+(x)eikxdx. (29)
О
Повторяя рассуждения теорем 8.1 и 8.2, легко показать, что если функция /+ (х) удовлетворяет условию
\f+(x) \<Мег-х при JC— со, (30)
то функция F+ (к), определенная формулой (29), является аналитической функцией комплексной переменной k = a-\-ix в области Im к > >х_, причем- в этой области F+(k)—«0 при \k\—> оо. С помощью рассуждений, аналогичных проведенным в теореме 8.5, можно показать, что функции f+(x) и F+(к) связаны обратным соотношением:
СО+/Т
Z+(Jf) =-4= [ F^(k)e-^xdk, (31)
I 2л
где интегрирование производится но любой прямой 1т? = т>Т-, параллельной действительной оси на комплексной плоскости k.
При т_ <С 0 (т. е. для убывающих на бесконечности функций f(x)) область аналитичности функции F+(A) содержит действительную ось и в формуле (31) можно проводить интегрирование вдоль действительной оси. Если т_ > 0 (т. е. функция /+ (х) растет па бесконечности, но не быстрее, чем экспонента с линейным показателем), то область аналитичности функции F+(A) лежит над действительной осью комплексной плоскости k (при этом на действительной оси k интеграл (29) может расходиться). Аналогично, если функция
{f(x), х<0,
удовлетворяет условию
f-(x)<.Mer-rx при х-+ — оо, (33)
то ее преобразование Фурье, функция
о
— СО
МЕТОД ВИНЕРА - ХОПФА
273
является аналитической функцией комплексной переменной k в области 1т?<;т+. Функция f-(x) выражается через функцию F- (х) с помощью соотношения
со -f- ІХ
/-(*) =-1=- \ F-(k)e-***dk, (35)
I 2л J
— СО + IX
где Im k = т < T+.
Если T+ > 0, то область аналитичности функции F_ (A) содержит действительную ось.
Очевидно, при т-<[т+ функция F (k), определенная по формуле (26), является аналитической функцией комплексной переменной к в полосе T_<Im?<T+. При этом функции f(x) и F (к) связаны обратным преобразованием Фурье:
co-f-it
/(x)= -L, \ F(k)e-***dk, (36)
V 2л і1
— со-f- їх
где интегрирование производится но любой прямой, параллельной действительной оси комплексной плоскости к, лежащей в полосе т_ < Im k = т <; т-f. В частности, при т_<[0 и т^> 0 функция F (k) является аналитической в полосе, содержащей действительную ось комплексной плоскости к.
Так, функция V(x) = e~a Л' при а>0 обладает преобразо sa-нием Фурье
V(/r) = _L---(37)
У 2л а2 + *" '
являющимся аналитической функцией комплексной переменной k в полосе — а <; Im k <; а, содержащей действительную ось.
Перейдем теперь к изложению основной идеи метода Винера — Хопфа. Мы продемонстрируем ее сначала па примере решения интегрального уравнения специального типа.
3. Интегральные уравнения с ядром, зависящим от разности аргументов. Начнем с рассмотрения однородного интегрального уравнения вида
со
U(X) = K^ v(x — s)u(s)ds, (38)
о
ядро которого, функция v(x — s), зависит от разности х— S = с, и определено для всех значений своего аргумента —оо<;І<со. Решение этого уравнения, очевидно, находится с точностью до произвольного множителя; он может быть найден из дополнительных условий задачи, например условий нормировки. Будем считать, что уравнение (38) определяет функцию и(х) для всех значений переменной х, как положительных, так и отрицательных. Введем
274
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
функции и- и и+:
Г и(х), х<0, Г 0, -*г<0,
«_(¦*) = { "+(*)= { (39)
v \ 0, х > О, У \и (х), х>0.
Очевидно, и(х) = и+(х)-{-и~(х), и уравнение (38) можно переписать в виде
со
H+ (х) — X \ V (х — s) и+ (s) ds, х>0, (40)
o
со
и- (х) = X J V (х — s) г/+ (s) t/s, х<0. (41)
о
То есть функция н+ (х) определяется из решения интегрального уравнения (40), а функция н^(х) выражается через функции и+(х) и v(x) с помощью квадратурной формулы (41). При этом имеет место соотношение
со
H+ (х) -J- и- (х) = X ^ г> (j? — s) и+ (s) rfs, (42)
о
эквивалентное исходному уравнению (38).
Пусть функция I)(I) удовлетворяет условиям
I г' (I)1 < Me1^ при I ^ оо
и
j г) (I) j < Жег+* при ? -> — оо, где т_ < О, T+ > 0. Тогда функция
(43)
CQ
V(k)=7*i U w(5)e'*5^- (44)
—со
является аналитической в полосе т_ < Im k < т+.
Будем искать решение уравнения (38), удовлетворяющее условию *)
j и+ (х) I < Мхе*х при л- -> оо, (45)
где (X < т+. При этом интегралы в правых частях соотношений (40) и (41), как несложно проверить, являются сходящимися, причём для функции U-(X) имеет место оценка
Iн_ (х) I < Мгех-гх при X -> — оо. (46)
Из условий (45) и (46) следует, что преобразование Фурье U+(k) и U_(k) функций и+(х) и и-(х) являются аналитическими функциями комплексной переменной k при Im k > jx и Im ? < T+ соответственно (на 'рис. 1 для определенности положено (Х>Т_).
*) Мы не останавливаемся на доказательстве существования решения уравнения (40), обладающего указанным свойством. Подробнее см., например, цитированную выше статью В. Д. Фока,
МЕТОД ВИНЕРА-ХОПФА
275
Перейдем теперь к решению интегрального уравнения (38) или эквивалентного ему уравнения (42), для чего воспользуемся преобразованием Фурье. С помощью формулы (9) преобразования свертки, в справедливости которой в рассматриваемом случае полубесконечного промежутка легко убедиться непосредственно, получим из (42)
