Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Свешников А.Г. -> "Теория функций комплексной переменной" -> 97

Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.

Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной — М.: Наука, 2004. — 321 c.
Скачать (прямая ссылка): teorfunckomplekperemen2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 91 92 93 94 95 96 < 97 > 98 99 100 101 102 103 .. 115 >> Следующая

**) См. Н. Н. Лебедев, Специальные функции и их приложения, Гостехиздат, 1953, стр. 76.
МЕТОД ПЕРЕВАЛА
265
функции на комплексную плоскость z = X -f- Iy:
да (2) =
__= (66)
^ cos г — cos 6 '
Функция w является аналитической в верхней полуплоскости ]гпг,>0. Поэтому интеграл по любому замкнутому контуру, целиком лежащему в верхней полуплоскости, от этой функции равен нулю. Выберем замкнутый контур *) Г, состоящий из отрезка (у = 0, — 6 a? X s=S 8) действительной оси, вертикальных отрезков (je = — 8, 0 ^y Н), (х = 8, О-^у^Н), параллельных мнимой оси, и замыкающего горизонтального отрезка (у = Н, — S sg: x eg б) (рис. 2). Как легко видеть, на последнем отрезке модуль
-в+іН
У cos (х -\-ІН) — cos 6-¦I
(67)
экспоненциально стремится к нулю при H—- оз. Поэтому, перейдя к пределу при H—*оо, получим
., . 1 N
—е F COS ф — COS (
где
о 1 COS (0 — і у) — COS (
со I , 1 '
-ге
dy.
(68)
(69)
(70)
6 I COS (Є+«'(/)—COS 6
Для приближенного вычисления интегралов I1 и /2 при больших значениях п применим метод перевала. Рассмотрим интеграл Z1 (Z3 вычисляется аналогично). Положим у = t2 и обозначим п -f- Va = Тогда из (69) получим
OO 7
V (X) = - /в'Ч = 2 Г e""^d< — J ]/cos(6-ir2)-cos6
(71)
*) При этом особые точки z = ± 8 обходим по дугам окружностей бесконечно малого радиуса, который затем устремляем к нулю.
266
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Интеграл (71), очевидно, удовлетворяет всем условиям теоремы 1, причем /(0= — t2 и точка = 0, в которой функция f(t) достигает своего максимального значения /(O) = O1 совпадает с граничной точкой интервала интегрирования. При этом f" (0) = — 2, а
л
ф(/0)= Hm -= 4= (72)
t-*o Kcos(6 — (Я)—cos9 ('sine-
Поэтому по формуле (28), в которой надо ввести дополнительный 1
множитель - , так как точка ; вала интегрирования, получим
множитель - , так как точка t0 совпадает с граничной точкой интер-
т л У sin s
sin 6
откуда
(73)
-i(n+ 1
I1 = Ie V 2 У J1/--^-Є * +0(/1-3/2)1 (74)
I sin 8 I •
Аналогично
/2 = -V 2; u / ^ | е 4 + о(Я_ЗУ2)^ (75)
2 ) sin t
Тогда после простых преобразований, учтя, что - птли-
чается от "|/"~" на величину порядка 0(«-3/2), получим окончательную асимптотическую формулу для многочленов Лежандра, справедливую при я^>1 и 0 <; б <; л:
' 1
Pn(COsS) =
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 МЕТОД ВИНЕРА —ХОПФА
Данный метод находит широкое применение при решении некоторых интегральных уравнений и различных краевых задач математической физики с помощью интегральных преобразований Лапласа, Фурье и ряда других. Первоначально этот метод был применен в совместной работе Н. Винера и Э. Хопфа (1931 г.) к решению интегральных уравнений с ядром, зависящим от разности аргументов, в случае полубесконечного промежутка
со
и (х) = К ^ V (х — s) и (s) as + f(x). о
В дальнейшем уравнения подобного вида рассматривались В. А. Фоком *), внесшим большой вклад в развитие общих методов их решения.
Общий метод решения функциональных уравнений, получивший название метода Випера — Хопфа или метода факторизации, был с успехом использован при решении многих задач дифракции и теории упругости, краевых задач для уравнения теплопроводности, интегральных уравнений теории переноса излучения (так называемая проблема Милна) и многих других задач математической физики **). Не ставя своей целью строгое математическое обоснование метода Винера — Хопфа, мы изложим его основную идею на примерах решения ряда практически важных задач.
1. Вводные замечания. Начнем с наводящих соображений, иллюстрирующих применение методов интегральных преобразований при решении интегральных уравнений. Рассмотрим интегральное уравнение вида
со
U(X) = 1K jj v(x — s)u(s)ds-\-f(x) (1)
—OO
*) В. А. Фок, О некоторых интегральных уравнениях математической физики. Матем. сборник 14 (1944), стр. 1.
**) Большое количество примеров применения метода Винера —Хопфа можно найти в книге Б. Нобла, где приведена достаточно подробная библиография. (Б. Нобл, Применение метода Винера— Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных, ИЛ, 1962.)
268
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
с ядром v(x — s), зависящим от разности аргументов. Мы не будем здесь исследовать условий разрешимости этого уравнения и проводить обоснование методов его решения, а лишь укажем, что для действительных значений К при выполнении условий
со со
$ \f(x)*dx<A, К \ \v(i)\dt<\, (2)
'—со —со
где А — произвольное фиксированное число, уравнение (1) имеет единственное решение*) и(х), интегрируемое с квадратом в бесконечном промежутке
OO
$ j m (x) j2 г/л-< со. (3)
—со
Будем считать, что существуют преобразования Фурье **) всех функций, входящих в уравнение (1):
со
U(k)=-L^u(x)e^dx, (4)
—OO
со
V (k) = —U { V (/) еш dt, (5)
—со со
F(k) = -^-\f(x)e^dx. (6)
Тогда, умножив (1) на —Lr eikx и проинтегрировав по бесконечному промежутку, получим
со со
U(k) = F(k) + -4. eikxdx \ v(x-s)u(s)ds = F(k) + l(k). (7) \ ' 2я J J
—со —
Изменив в последнем слагаемом порядок интегрирования, представим этот интеграл в виде
Предыдущая << 1 .. 91 92 93 94 95 96 < 97 > 98 99 100 101 102 103 .. 115 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed