Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
МЕТОД ПЕРЕВАЛА
253
Лемма 2. Пусть при \ t j б функция <р (0 может быть представлена в виде
Ф (') = '<. + Ci* + OV2) (9)
и для некоторого X0 > 0 сходится интеграл
а
$ I ф(0| e-K°i!dt<M. (10)
— а
Тогда для К>Х0 имеет место асимптотическая формула
% г--
Ф (П = ) Ф (O e-W2 Л = C0 |/ I + О (Аг-з/2). (11}
— а
Доказательство. Главный член формулы (11) легко может быть получен из следующих наводящих соображений. Если функция ф (/) ограничена при \t > а, то естественно ожидать, что значение интеграла (11) изменится незначительно, если заменить пределы интегрирования — а и а на — оо, сю соответственно. Тогда первый член разложения (9) дает главный член формулы (11), интеграл от второго члена в силу нечетности подынтегральной функции равен нулю и остается оцепить остаточный член. Эта оценка и возможность указанной замены пределов интегрирования и составляют • основное содержание леммы. Перейдем к ее строгому доказательству.
Разобьем интеграл Ф(Х) на три слагаемых:
— 6 6 а
ф(Я)= \ ф {t) е~иг dt + J <f(t)e-lt!dt + \y(t)e-^dt, (12)
— а — б б
где б > 0 — некоторое фиксированное число. Оценим последнее слагаемое:
0(е-ш). (13)
Здесь мы воспользовались условием (10) и очевидным неравенством
№ = W + I (t2 - б2) > А,б2 + A0 (t2 — б2) = (Я — K0) б2 + У2,
имеющим место при А>А0, t>б. Аналогично оценивается и первое слагаемое в (12). Отсюда следует, что при достаточно больших X основной вклад в значение интеграла Ф (К) _дает второе слагаемое, в то время как крайние слагаемые в (12) экспоненциально стремятся к нулю при Х—*-оо.
](f(t) e-Ul dt
s? е-(X-W j і ф (t) I e-W dt < б
sc Me1«62 • e-M'! =
254
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Перейдем к рассмотрению главного члена в (12). Подставив вместо функции ф (t) ее разложение (9), получим б
Ф.г(X) = 5 4>(t)e~u'dt = -е
б 6 6
= с„ 5 e-uidt + i\ \ e-M'tdt+ $ О (t2) e~tJ'dt. (14)
-б -6 -б
Второй интеграл в (14) в силу нечетности подынтегральной функции равен нулю. Для оценки первого интеграла сделаем в нем замену переменной интегрирования, положив Xt2 = г. Получим б б ш і
Но в силу леммы 1 при Я->оо имеет место асимптотическая формула
2Y (i?)
Vt 2e-*dx = T(~) + 0\е 2) = Ул + 0\е о
Так как при любом фиксированном б функция є 2 при Я->со
стремится к нулю быстрее, чем /\~3<2, то можем записать
с0 S1 e-^dt = coy j+0\X 2). (17)
—б
Остается оценить последнее слагаемое в (14):
б бб
I 0(t2)e-u* dt<C $ t2e~u* dt = 2C\t2e-M* dt. (18)
-6
В интеграле (18) опять сделаем замену переменной интегрирования, положив Xl2 = х. Тогда получим
б w
2 J e-}J2dt = ~j-2 J T1^e-1 dt. (19)
о
Интеграл (19) также удовлетворяет условиям леммы 1. Поэтому окончательно получим
? т(~\ I ш\ і з
\ 0(t2)e-^dt = C-^ + 0[e 2 ) = 0\Х 2). (20)
Формулы (13), (17) и (20) после подстановки их в (12) и доказывают лемму.
Сделаем ряд замечаний к доказанной лемме.
МЕТОД ПЕРЕВАЛА
255
Замечание 1. Повторяя проведенные рассуждения, можно доказать, что если функция ср(г) при і t J разлагается в строку Тейлора
Ф(0= 2 С^ + °(П ^* = ?^, (21)
Zt = O
то имеет место асимптотическое разложение
Vn — 11
f . ' ' Г 'т+ і ) ( -Ш\ Ф(Я)= V Ф(0= > с2т^-г^- +О U 2 J- (22)
— а ;?! = 0 ^ ' 2
где символ [~2~j 03иачает наибольшее целое число, меньшее или
я-1 равное —2—.
В частности, при я=1, когда разложение функции ср (г) имеет вид Cp(I) = C0-J-O(E), остаточный член в формуле (22) имеет порядок Ar1, поскольку при оценке остатка главную роль играет интеграл б 6 6
$ 0(t)e-u'dt<C \ \ t\e-'fJ2 dt = 2C\te~Ul dt. -б -б о
Замечание 2. Лемма остается справедливой й в том случае, когда интегрирование проводится по отрезку [U1, а.г\, где ах < О, O2 > О и — O1 аг. Следующее замечание настолько существенно для дальнейшего, что мы сформулируем его в виде самостоятельной леммы.
Лемма 3. Пусть на отрезке \ t \ S0 функции ср (г) и ц (г) представили в виде
Ц)(і) = с0 + Сіі + О(П (9)
\i(t) = c^ + 0(n (23)
гг пусть при А->со функция o (Я) sgo0 удовлетворяет условиям *) Xo2 (X) -4- со, AS3 (А) -»¦ 0. (24)
Тогда при А —>- со имеет место асимптотическая формула
/(A)= ф(Ое?Т-^+д(0]Д = Со|/ -J + oU 2І. (25)
-б (Я)
Доказательство. Как легко видеть, при выполнении условий (9), (23) и (24) на отрезке |Г;^о(А) имеет место равенство
ср (t) е^ «> = с0 + C1J + C0C3A/3 + О (/2) + О (А2/6) + О (А/4). (26)
*) Как легко видеть, например, функция 6(X) = X 2/0 удовлетворяет условиям (24).
256
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Тогда, повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве леммы 2, получим, что при подстановке разложения (26) в формулу (25) первое слагаемое в силу условия (24) даст главный член правой части (25); второй и третий члены полученного выражения обратятся в нуль в силу нечетности подынтегральных функций; последние три слагаемых имеют одинаковый порядок малости 0(Ar-3'2). Лемма доказана.
Доказанные леммы позволяют доказать следующую теорему, являющуюся основной в методе Лапласа асимптотического разложения интегралов от функций действительной переменной.
