Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Замечание 1. Заметим, что из сходимости интегралов (72) и (73) следует ограниченность построенных таким образом функций F+(A) и F_ (k) при \ k I -> со в данной полосе.
Лемма 2. Пусть функция Ф(А) является аналитической и отличной от нуля в полосе т_ •< Im k <. т+, причем Ф(/?) равно-
U
d Z+ і
-А K=O OK0 A ^
а. ZL Ъ
г_
*) См. стр. 52,
МЕТОД ВИНЕРА - ХОПФА
281
мерно в этой полосе стремится к единице при \ k \ —> со. Тогда в данной полосе имеет место представление
ф (А) = фт (А) • ф_ (А), (74)
где функции Ф+(А) и Ф_(А) являются аналитическими и отличными от нуля соответственно в полуплоскостях 1тА>т_ и Im А <т+.
Доказательство. Рассмотрим. функцию F (A) = In Ф (А), которая, очевидно, удовлетворяет всем условиям леммы 1. Поэтому для функции F (k) возможно представление (71)—(73). Полагая
Ф+ (A) = exp {F+ (k)}, Ф_ (A) = exp {F_ (А)}, (75)
где функции F+(k) и F_(k) определены формулами (72), (73), получаем
In Ф+ (A) = F+ (А), \n<b_{k) = F_(k). (76)
Тогда формула (71) дает
1пФ(А) = 1пФ+(А) + 1пФ_(А), (77)
откуда и следует соотношение (74). Так как функции F+ (А) и F_(А), согласно лемме 1, являются аналитическими в полуплоскостях Im А>т_ и Im А < T+ соответственно, то и функции Ф+ (А) и Ф_ (А), определенные по формулам (75), будут обладать требуемыми свойствами. Лемма доказана.
Замечание 2. Возможность факторизации (74) сохраняется в том случае, когда функция Ф(А) имеет конечное число нулей А; в полосе < Im А <^ т+.
Для доказательства леммы 2 в этом случае достаточно ввести вспомогательную функцию
(?2 + /32)Л72
F(A) = In
Ф(А)
(78)
где а;— кратность нулей ki, N— полное число нулей с учетом их кратности; положительная постоянная Ъ > j т_ |, | T+ | выбирается из условия, чтобы функция, стоящая под знаком логарифма, не имела дополнительных нулей в полосе т_<1тА<т+. Последняя функция, очевидно, стремится на бесконечности к единице. Построенная таким образом функция F(A) по-прежнему удовлетворяет всем условиям леммы 1.
Доказанные леммы и определяют возможность представлений (63), (65), составляющих основу метода Винера — Хопфа.
Мы рассмотрели применение метода Винера — Хопфа для решения функционального уравнения (62). Легко видеть, что к этому уравнению сводится и неоднородное интегральное уравнение на полубесконечном промежутке с ядром, зависящим от разности
282
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
аргументов:
и (х) = К \ V (X - s) и (S) ds + /(дг). (79)
о
Будем предполагать, что ядро уравнения (79) и функция /(дг) удовлетворяют условиям (43), и будем искать решение уравнения (79), удовлетворяющее условию *)
\и+(х)\<М1е^х при дг->оэ (80)
((I < T+).
Тогда, проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям при выводе функционального уравнения (47) для однородного интегрального уравнения, получаем, что в случае уравнения (79) в полосе и,<Тт?<;т+ должно удовлетворяться функциональное уравнение
U+ (k) + U_ (k) = ЦГЇЇі V (k) U+ (k) + F+ (k) + F_ (k) (81)
или
L (k) U+ (k) A-U_ (k) -F(k) = 0, (82)
где
L(A)= l-j/2nA, V(A). (83)
Уравнение (82) являете* частным случаем уравнения (62). Функция L(k) в полосе т_ < Im А < T+ является аналитической и равномерно стремится к единице при I k I ->- оо, так как | V(k) |-> 0 при I k I оо. Если, кроме того, функция V (k) имеет конечное число нулей в этой полосе, то все условия леммы 2 выполнены и функцию L (k) можно представить в виде
М*) = ?Ц. (84)
где L+ (k) является аналитической функцией в верхней полуплоскости Im?"">T_, a L^(A)-B нижней полуплоскости 1т/е<;т+. Тогда уравнение (82) принимает вид
L+ (k) U+ (k) + (k) U_ (k) - l_ (k) F^ (k) - F+ (k) L_ (k) = 0. (85)
Для приведения последнего уравнения к виду (66) достаточно разложить последнее слагаемое:
/>(*)!_ (*) = ?+(А)+ Я-(А). (86)
на сумму функций D+ (k) и D_(k), являющихся аналитическими в полуплоскостях Im k > ц, и Im k ¦< T+ соответственно.
*) Мы опять не останавливаемся на обосновании существования решения уравнения (79), удовлетворяющего условию (80).
МЕТОД ВИНЕРА - ХОПФА
283
Для обоснования возможности такого представления заметим, что в силу условия (43) функция F+(1?) является аналитической в верхней полуплоскости Im А > т_ и равномерно стремится к нулю при | А | -> со. Функция 1_(А) является аналитической в нижней полуплоскости ImA-cit4., и по способу ее построения в силу леммы 2 и замечания к лемме 1 можно так провести факторизацию (84), чтобы L_(A) оставалась ограниченной в полосе т_ <; Im А •< т+ при | A j —>- со. Отсюда следует, что для функции F+ (A) L (А) в полосе т_ < Im А < t+ выполнены все условия леммы 1, что и достаточно для обоснования представления (86).
Проведенные рассмотрения позволяют при дополнительных условиях, что функции Ьл_ (А) растут на бесконечности не быстрее, чем Ая, представить преобразования Фурье решения неоднородного интегрального уравнения (79) в виде
Само решение может быть получено из (87) с помощью формул (31) и (35) обратного преобразования Фурье.
5. Задачи, приводящие к интегральным уравнениям с ядром, зависящим от разности аргументов.
