Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
или
где
U+ (k) + UJk) = І/Тя KV(к) U+ (к), L (к) U+ (к) -f- U_ (к) = О, L(A) = 1 —YZnKV(к).
(47) (48)
Итак, с помощью преобразования Фурье мы опять перешли от исходного интегрального уравнения к алгебраическому уравнению для преобразований. Однако теперь в уравнение (47) входят уже две неизвестные функции. Вообще говоря, из одного алгебраического уравнения нельзя однозначно определить две неизвестные функции. Метод Випера — U+(If), L+(k)
Хопфа позволяет решить эту задачу для определенного класса функций. Он в первую очередь связан с изучением областей аналитичности входящих в уравнение функций и специальным представлением этого уравнения. Основная идея метода Винера — Хопфа заключается в следующем. V(if)
Пусть удалось представить уравнение (47) в виде —I-1-ImK=Z-
L+(k)U+(k) = -L_(k)U_(k), (49)
¦ Ітк=т+
Ітк=ц
U-(if), l-(if) Рис. 1.
где левая часть является аналитической в верхней полуплоскости Im&>(i, а правая — аналитической в нижней полуплоскости Im к <; т+, причем и, < т+, так что существует общая полоса аналитичности этих функций \х ¦< Im к < т+. Тогда в силу единственности аналитического продолжения можно утверждать, что существует единственная целая функция комплексной переменной, совпадающая с левой частью (49) в верхней и правой частью (49) в нижней полуплоскости соответственно. Если при этом известно, что функции, входящие в (49), растут на бесконечности не быстрее, чем конечная степень кп, то в силу теоремы Лиувилля данная целая функция определяется с точностью до постоянных множителей. В частности, в случае ограниченной на бесконечности функции получим
L+ (к) U+ (к) = — L_ (к) U_ (к) = const.
(50)
Отсюда функции U+ (к) и U_ (к) определяются однозначно.
276
приложение 2
Итак, применим данную схему к решению уравнения (47). Из проведенных выше рассмотрений следует, что области аналитичности
функций U+(k), U_(k) и L (к) = 1 — Y~2nX V (к) соответственно представляют собой верхнюю полуплоскость 1тА>ц, нижнюю полуплоскость Im к < Tj. и полосу т < Im к < т_.. Тем самым это уравнение справедливо в полосе *) ц. ¦< Im k < T4, являющейся общей областью аналитичности всех входящих в это уравнение функций. Для' преобразования уравнения (47) к виду (49) предположим, что возможно разложение функции L (к):
где функции L+ (к) и L_ (к) являются аналитическими при ImA>[.i и 1т?<;т+ соответственно. Кроме того, предположим, что в областях своей аналитичности эти функции на бесконечности растут не быстрее, чем кп, где и —некоторое положительное целое число. Разбиение (51) аналитической функции L(k) обычно называется факторизацией. Возможность факторизации заданной аналитической функции комплексной переменной будет обоснована ниже (см. леммы 1 и 2 на стр. 279, 280).
Итак, в результате факторизации исходное уравнение приведено к виду
L+ (k) U+ (к) = — L_ (k) U _ (к). (49)
Из предыдущих рассмотрений следует, что оно определяет некоторую целую функцию комплексной переменной k.
Так как U-+ (к) -*¦ 0 при j к J -*¦ со, a L+(k) растут на бесконечности, как конечная степень к", то данная целая функция может быть лишь полиномом P„_i(/f) степени не выше и—1.
Если функции L+(к) растут на бесконечности, лишь как первая степень переменной к, то из соотношений (50) в силу теоремы Лиу-вилля следует, что соответствующая целая функция есть постоянная С. Тогда для неизвестных U+(K) и U_(к) получим выражения
uI+IFy = ~ Oo • (52>
определяющие преобразования Фурье искомого решения с точностью до постоянного множителя, который может быть найден хотя бы из условий нормировки. В общем случае выражения
и^=Ш)> и-^--Ш) (53)
определяют преобразования Фурье искомого решения интегрального уравнения (38) с точностью до неопределенных постоянных, которые
*) Мы для определенности положим ц, > т_. В противном случае общей областью аналитичности будет полоса т_ < Im k < т+.
МЕТОД ВИНЕРА —ХОПФЛ 277
L+(k)=kS ffi. 1}, L_ (Ze) = Ze-/. (57)
в виде (51), где
Функция L+ (к) в (57) является аналитической и отличной от нуля функцией Ze в области Imк >Im|/"2Я— 1. При 0<Я<—- эта область определяется условием Im k >]/ 1 — 2Я, причем У 1 — 2Я eg =? (.і < 1. При Я>-|- функция L+(Ze) является аналитической и отличной от нуля в области Im k > 0. Функция L_ (Ze), очевидно, представляет собой отличную от нуля аналитическую функцию в области
ImZe<;l. Поэтому при 0<;Я<[у обе функции удовлетворяют требуемым условиям в полосе |х <; Im Ze <; 1.
При ~- <; Я общей областью аналитичности функций L+ (k) и L_ (Ze)
является полоса 0<MmZe<;l. Таким образом, необходимая факторизация функции (56) произведена.
Рассмотрим выражения U±(k)L±(k). Так как U±(k)->Q при I Ze j —> оо, a L+ (Ze), согласно (57), растут на бесконечности, как первая степень Ze, то целая функция Pn(к), совпадающая с LZ+(Ze)L+(Ze) при Im Ze > ц. и с U-(k)L_(k) при ImZe<;l, может быть лишь полиномом нулевой степени. Поэтому
U+(k)L+(k) = C. (58)
Отсюда
V+W = C k^+{+1 (59)
можно найти из дополнительных условий задачи. Само решение определяется с помощью обратного преобразования Фурье (31) и (35).
