Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
І 4-І
\в W P(TOdTj1 Ll > 0,
0 (100)
со щ-1 У '
— \ є м. р(її)rfrj, ц< 0.
Проинтегрировав (100) по Li от —1 до 1, получим интегральное уравнение для функции р (?:
1 со I 5 _ г, I
6 5
Изменив в (101) порядок интегрирования, получим окончательное уравнение для плотности нейтронов в сечении |:
со
P(S)=J «(S-Л)р(Л)«Ч (102)
о
Как видим, это есть интегральное уравнение в полубесконечном промежутке с ядром, зависящим от разности:
X)(S-Tl) = I » (ЮЗ)
о
Уравнение' (102) обычно называется уравнением Милна, который впервые получил это уравнение при исследовании процессов переноса излучения в звездной атмосфере.
. Отметим, что во многих случаях удобным оказывается несколько иное представление ядра, получающееся при замене в интеграле
С - — du 1
X(t)=\e •* переменной интегрирования Li = — . Тогда
о
OO
A-(O=Je-""^. (104)
і
Интеграл (104) часто называется функцией Хопфа. Интегрированием по частям легко может быть получено его асимптотическое разложение при больших положительных значениях t:
МЕТОД ВИНЕРА — ХОПФА
287
5.2. Исследование решения уравнения Милна. Уравнение (102) принадлежит к типу уравнений, рассмотренных в п. 3, и для его решения может быть применен общий алгоритм метода Винера — Хопфа. Мы не будем проводить здесь подробного решения этого уравнения и исследования его физического смысла*), а ограничимся лишь рядом замечаний.
Во многих практических задачах основной интерес представляет определение лишь функции распределения нейтронов, выходящих из данной среды, т. е. функции /(0, ц) при и.< 0. Согласно (Ю0) эта функция определется выражением
/(0, it) = - ±- ^eT р (ті) dy, = ^i- Jj Г ПП р (ті) сіц, И < 0. (106)
о 1 6
Как легко видеть, в силу (29) последний интеграл есть не что иное, как
одностороннее преобразование Фурье функции p(ii) при /г = —~ ,т. е.
1 H- j
т ^=^^^Ш- (107)
Тем самым в указанных задачах достаточно найти не само решение интегрального уравнения (102), а лишь его преобразование Фурье.
Согласно общей схеме метода Винера —Хопфа для решения последней задачи следует найти преобразование Фурье ядра интегрального уравнения, а затем произвести факторизацию (51) функции L(k) = = 1 — У2л%V(/г). В нашем случае %=\ и
со / 0 1 д.
L- Г eikxv(x)dx = —^=-\ Г eihxdx f 2я J 2 /2я I J J P
К— со О
1
1 P 1 djx _ 1 arctg к __
'VTn J fe2 + JL ' V? ~ /2л ' к *
Y2л 2i'fe l — ik
1„!±?. (108)
Поэтому
L(k)=\- У2лXV(к) = k~a,rctgk . (109)
Функция L (k), очевидно, является аналитической в полосе —1 ¦< Im k < < 1, стремящейся к нулю в этой полосе при >оо. Точка /г = 0 является нулем второго порядка этой функции. Последнее обстоятельство несколько затрудняет факторизацию функции L {к).
*) Подробнее см., например, широко известную работу Хопфа: Hopf, Mathematical Problems of Radiative Equilibrium, Cambridge, 1934.
288
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Согласно замечанию 2 (стр. 281) построим вспомогательную функ-дню 2 - L (А), удовлетворяющую всем условиям леммы 2, и рассмотрим функцию
(ПО)
гтт/м і Г*2+1 7 і Г^ + 1 / і arctgfeV
Ф (А) = hi -^- і (А) I = In — і, 1 - -y-j
которую легко представить в виде Ф (¦k) = Ф_ (A) -f-Ф+ (/?), где функции Ф_(А) и Ф,(А) являются аналитическими соответственно в нижней Im А < T+ < 1 и верхней Im А ]> т_ ]> — 1 полуплоскостях. При этом
со + Il _
— со -р гТ-
а функция I+(A), являющаяся числителем в формуле факторизации (51) функции I (А):
L ^ L_ (А) '
может быть выбрана в виде
M*) = 1?-О11)
Функция I+(A) является аналитической в верхней полуплоскости Im к > т_ и при I А '( —»- со растет, как первая степень А, поскольку в силу сходимости интеграла (HO') Фг(А) ограничена при |А|—>-оо. Поэтому функция R+ (А) определяется по формуле (52):
Отсюда следует, что для определения функции распределения нейтронов, выходящих из полупространства х > 0, необходимо найти Ф._(А). Это может быть сделано с помощью формулы (ПО'). Для вычисления этого интеграла положим t = 0 и приведем его к следующему виду:
со 10 со Л
— со I — со 0 /
(ИЗ)
Воспользовавшись четностью функции Ф(?) и сделав в первом интеграле замену переменной интегрирования ?' = — ?, окончательно получим
со
Ф+(?) = Л$Ф®А- (114)
6
Последний интеграл может быть легко табулирован, что и позволяет найти /(0, р.) при li < 0 с точностью до постоянного множи-
МЕТОД ВИНЕРА - ХОПФА
289
теля А. Для определения последнего воспользуемся условием нормировки (97) и следующими соображениями. Умножим уравнение (94),
справедливое при ? > 0, на ¦ }е,7;% и проинтегрируем его по ? от
)' 2л,
О до со. Пусть А — комплексная величина с малой положительной мнимой частью. Тогда, применив формулу интегрирования по частям
со
- \ *''*5 -2- dl = - -J7L- / (0, ц) - /AF+ (А, р.), (115)
V 2.
получим
-Ik1IF+ (А, р) - -5W(O, ц) = - F+ (k, p.) + у (А), (116)
F+(A, (і) =
2л
/(0, ц)+ |Я+(А)
- «A(I
(117)
Результат интегрирования (117) по fx от —1 до 1 в силу очевид-
1
ного соотношения R+(Ii)= \ F+(A, u)dp, и условия (95) дает
