Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Остановимся подробнее на топографии поверхности гармонической функции и (х, у) в окрестности ее седловой точки M0(X0, у0). Определим направления наибыстрейшего изменения этой функции, проходящие через точку M0. Эти направления, как известно, определяются направлением вектора grad и. Пусть grad и ф 0. Так как для аналитической функции Vh-Vb = O (см. стр. 34), то направление вектора grad и определяет кривую v (х, у) = const. Итак, если на кривой V (х, у) = const, grad и Ф 0, то функция и (х, у) изменяется вдоль этой кривой наиболее быстро. Однако в самой седловой точке M0(X0, у0) поверхности функции и(х, у) вектор grad и(M0) = 0. Рассмотрим подробнее поведение функций и(х, у) и V (х, у) в окрестности этой точки. Очевидно, в точке M0 производные функций и(х,у) и v(x, у) по направлению / касательной к кривой v(x, .у) = const, проходящей через точку M0, равны нулю:
% (X01 У о) = 0, ddj (х0, у0) = 0. (43)
Так как производная аналитической функции не зависит от направления, то отсюда следует, что
f (Z0) = 0. (44)
260
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Следовательно, разложение функции f(z) в окрестности точки Z0 имеет вид
/(Z) = /(Z0) + (Z- Z0)P {C0ArC1 (Z - Z0) + ...}, (45)
где р 2 и C0 ф0. Положив cn = rneiQn, /г = 0, 1,..., z — Z0 = ре,Чр, получим
/(г) -/(Z0) = рР {r0e' + е»> + prxe1' t(p + і)ф + s1] j-...}. (46)
Запишем уравнения кривых (х, ¦y) = const и v (х, у) = const, проходящих через точку Z0, с помощью введенных обозначений. Имеем
U(p, ф) = г0 cos (рф + 80) + pr1 cos [(р+1) ф 4-S1] +••• = 0, (47)
V(p, ф) = г0 sin (/?ф + 8„) + Pr1 sin \(р +1)Ф + 6,1+... = 0. (48)
Здесь
" (л-. .У) - " (хо> У о) = ppU (р, ф), г> (х, •y) - V (х0, у0) = рР V (р, ф).
Так как функция соз(/?ф + 80) при изменении ф от 0 до 2л меняет знак 2р раз, то из формулы (47) следует, что окрестность точки Z0 разбивается на 2р криволинейных секторов, внутри которых функция U(р, ф) сохраняет знак. Границы этих секторов определяются из решения, уравнения (47). Секторы, в которых U(p, ф)< 0, будем по-прежнему называть отрицательными, а секторы, в которых U(р, ф) > 0, — положительными. Направления наибыстрейшего убывания (наибыстрейшего спуска) функции и (х, у), очевидно, лежат в отрицательных секторах и определяются теми значениями угла ф, при которых в окрестности точки (X0, у0) V (р, ф) = 0и U(p, ф) < 0, т. е. cos (/?ф + G0) = —1. Эти значения равны
фт=_^+-?±1Я( т = 0, 1, р-1. (49)
Отметим, что направления наибыстрейшего спуска совпадают с биссектрисами отрицательных секторов.
В дальнейшем мы будем рассматривать лишь случай р = 2, когда
Г (Z0)^O. При этом C0=1^f(Z0) и S0= arg/" (z0). В этом случае
имеются лишь два отрицательных сектора, внутри которых проходит линия наибыстрейшего спуска функции и(х, у). Направление касательной к этой линии в точке Z0 согласно формуле (49) определяется углами
Фо=—Y- и ф1== у =ф0 + я. (00)
Очевидно, выбор угла ф0 или фх определяется заданием направления интегрирования вдоль линии наибыстрейшего спуска.
Перейдем теперь к доказательству основной теоремы метода перевала.
МЕТОД ПЕРЕВАЛА
261
Теорема 2. Пусть функции ц>(г) и f(z) = u(x, у) + iv(x, у) являются аналитическими в области 5 и удовлетворяют следующим условиям:
V) Поверхность функции и(х, у) имеет внутри 5 единственную СЄдЛОвуЮ тоЧКу Z0 = Х0-\-Іу0, Причем f" (Z0) ^zO.
2) Существует такое 6 > О, что на линии L постоянного значения функции v(x, y) = v(x0, у0), проходящей через точку Zn, в обоих отрицательных секторах этой точки функция и (х, у) вне ^-окрестности точки Z0 удовлетворяет условию
и (•*<» Уо) — и (•*> У) S-= h > 0. (51)
3) При некотором значении K0 > 0 сходится криволинейный интеграл
\ 1 ср (z) \ е1°и <*• и) as < М, (52)
с
где кривая С целиком лежит в области 5, причем ее начальная (Z1) и конечная (z2) точки расположены в различных отрицательных секторах точки Z0 так, что их можно соединить с кривой L кривыми Yi " ї2 конечной длины, на которых функция и(х, у) удовлетворяет условию (51).
Тогда для всех X^X0 имеет место асимптотическая формула
F (X) = J ф (Z) е>-1 W dz = eW (г») {|/ Ф (Z0) e<vm + 0(X' з/2)},
(53)
где фт = л~6° + tnn (т = 0, 1) и 80 = arg/ " (z0). Выбор значения фт
определяет знак в формуле (53) и, естественно, зависит от направления интегрирования вдоль контура С.
Доказательство. Интеграл (53) не изменит своего значения, если деформировать кривую интегрирования С в кривую Г = L -)- Y1 -)- у2. В силу условия (51) для интегралов по кривым Yi и уг имеет место оценка
J ц, (z) e%t Ю dz = е^^ О (e-Xh). (54)
Vi,г
Рассмотрим интеграл
F1(X)=[^ (z)e^ ^ dz. (55)
L
Введем на кривой L натуральный параметр *) s, причем будем считать, что точке Z0 соответствует значение s = 0. Уравнение кривой L запишем в виде z = z(s). Произведя в интеграле (55) замену
*) Понятие натурального параметра см. вып. 1, стр. 359,
262
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
переменной интегрирования, положив z = z(s), получим
ъ
F1(K) = еа"<-х°- ^ Ф (s)
ds '
(56)
где
Ф (S) = Ф [Z (S)], (7(S) = H fx (S)1 j/(s)], 0<а<оо, 0 < & < оо.
