Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Интеграл (56) удовлетворяет всем условиям теоремы 1, причем функция U (s) достигает своего максимального значения в точке s = 0,
- т <0.
S = O
ds2
Тогда согласно (28)
Fi (К) = e%f -
2д
W" (0)
Ф (О)/(0) + 0(?^3/2)}, (57)
и остается выразить входящие в (57) величины через значения функций ср (г) и f(z) в точке Z0. Очевидно, Ф (0) = ср (г0). Так как
dW „
= 0, то
L
ds2
ds2
d2/[Z(s)]! =f"(4f)+f'(z)^
ds2
ds2>
Отсюда в силу (44) получим ds2 s = 0
(59)
Так как в окрестности точки Z0 с точностью до величин высшего порядка малости имеет место соотношение z — Z0 = sei<f, то dz
-- = є'*, и остается определить направление касательной к кривой L в точке Z0. Но по самому способу построения кривой L касательная к этой кривой в точке Z0 совпадает с направлением наибыстрейшего изменения функции и(х, у). Тогда из (50) для угла срт получим формулу
- + /ял, т = 0, 1,
(60)
где 80 = arg /" (.г0), а значение т определяется направлением интегри-
d2t7 ds2
рования. Заметим, что лу (59) можно записать в виде
"ds2"
Итак, окончательно получим
<0 и
dz I ds s =
= -\f°(z0)\.
Тогда форму-(61)
F (К) = & Ы {\Y X\f*(z0) \ ф е^т + 0 &~3/2)} - (62)
МЕТОД ПЕРЕВАЛА
263
где значение угла ц>т дается формулой (60). Знак главного члена в правой части (62) определяется выбором значения т и зависит от направления интегрирования вдоль кривой С.
Сделаем ряд замечаний по поводу доказанной теоремы.
Замечание 1. Из доказанной теоремы следует, что если обе граничные точки Z1 и Z2 кривой интегрирования С лежат в одном и том же отрицательном секторе седловой точки z0, то для интеграла (1) имеет место оценка (54).
Замечание 2. В приложениях особенно часто приходится рассматривать интегралы типа (1) в неограниченной области с кривой интегрирования С, уходящей в бесконечность. Из проведенных рассмотрений очевидно, что в этом случае для сходимости интеграла(1) необходимо, чтобы кривая интегрирования ,уходила в бесконечность в отрицательных секторах седловой точки Z0. При этом теорема 2 и формула (53) сохраняют силу.
Замечание 3. Теорема 2 была доказана в предположении, что точка Z0 является единственной седловой точкой поверхности функции и (х, у) в области $ и /" (z0) ф 0. Если эти предположения не выполнены, то могут быть проведены аналогичные рассмотрения, которые приводят к асимптотическим разложениям интеграла (1), подобным формуле (53). Однако когда в области $ имеется несколько седловых точек, то выбор контура интегрирования требует специального исследования. Если контур интегрирования проходит через несколько седловых точек, то асимптотическое разложение интеграла (1) может содержать несколько слагаемых тина первого члена (53), имеющих один и тот же порядок, что может существенно изменить окончательный результат.
Рассмотрим ряд примеров применения полученных результатов.
Пример 2. Асимптотическая формула для функции Ханкеля.
Как известно*), функция Ханкеля первого рода Ну'(х) может быть представлена с помощью интеграла
Щ1 (х) = -i- ^ eix sin г -ivz dz, (63)
с
где контур интегрирования С на комплексной плоскости z переходит из полуполосы — Re z < , Im z J> 0 в полуполосу -^ <;Rez<;-|-n,
Im z < 0 через точку Z0 = у (рис. 1). Эта точка является седловой точкой функции f(z) = і sin z в полосе 0 < Re z < л, так как /' = 0, /" -я- = — і Ф 0. Указанные выше полуполосы представляют собой
*) См. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Уравнения математической физики, «Наука», 1972.
264
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
отрицательные секторы этой седловой точки, что, в частности, обеспечивает сходимость данного несобственного интеграла. Найдем асимптотическое значение этого интеграла при больших положительных значениях X ^> | v |. Данный интеграл, где f(z) = /sin z, ф(г) = е~'хг, очевидно, удовлетворяет условиям теоремы 2. Поэтому для его вычисления может быть применен метод перевала. Так как f'(z) =
z=0
-2 < Re z < j л
= /cos2, то в полосе
лишь одна седловая точка При этом /(Z0) = i, /'(Z0) = О,
находится _л
•2o "~ о
Зя
\f"(z0) \ = 1, 60 = у. Учитывая направле ние интегрирования, из (50) получим Фо = — ^ . Отметим, что это направление совпадает с биссектрисой отрицательного сектора седловой точки 20 = --. Окончательно на основании формулы (53) получим
Щ (X) = 1 elx {у~2? е~~ N ї~ 1 ї + О (Х~ З/2)} =
¦О
(64)
Формула (64) находит весьма широкое применение при решении различных задач, в которых приходится использовать асимптотические представления цилиндрических функций.
Пример 3. Асимптотическая формула для полиномов JJe-жандра *).
Будем исходить из интегрального представления **) полиномов Лежандра
,Ir,
Pn (COS 8):
л У 2 —е У cos ф — cos 6
</ф, 0 < 8 < л.
(65)
Как легко видеть, подынтегральная функция имеет интегрируемую особенность при ф = ± 8. Нашей целью является получение асимптотического выражения для функции Pn (cos 6) при больших значениях индекса п. Рассмотрим аналитическое продолжение подынтегральной
*) Определение полиномов Лежандра и их основные свойства см. А. Н. T и-X о н о в, А. А. Самарский, Уравнения математической физики, «Наука», 1972.
