Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
5.L Вывод уравнения Милна. К интегральным уравнениям с ядром, зависящим от разности аргументов, сводится большое число физических задач. В качестве первого примера укажем классическую проблему Милна, описывающую процесс переноса нейтронов (или излучения) через вещество.
Пусть в полупространстве х > 0, заполненном однородным веществом, плотность которого определяется числом п0 частиц в единице объема, распространяется поток нейтронов. Будем считать, что частицы вещества являются тяжелыми атомами, рассеивающими нейтроны так, что абсолютная величина скорости нейтронов остается постоянной, а меняется лишь ее направление. Рассмотрим стационарный процесс и предположим, что все нейтроны имеют одну и ту же абсолютную величину скорости TJ0=I и плотность их распределения зависит лишь от одной координаты х. Введем функцию f(x, (і), характеризующую плотность нейтронов в сечении х, скорость которых составляет с положительным направлением оси х угол 8, где Ji = cos б *). Число нейтронов в единице объема в данном сечении, направление скорости которых лежит в пределах (\і, ц. + d(і), определяется величиной /(je-, ц) d\i.
Полная плотность нейтронов р (х) в данном сечении равна
lz+(a) =
L+ (к)
UJk) =
-Pn {k) + L_{k)F_{k) + D_ (к) L_(k)
(87)
р(х)= \ f(x, ц.) d\i.
(88)
— і
* ) Очевидно, - lsgfl^l при 0 a? 6 г? Л.
284
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Нашей ближайшей целью является вывод уравнения для функции распределения f(x, и.). Для этого составим соотношение полного баланса числа нейтронов, имеющих направление скорости в интервале (и., Li -f dii) и находящихся в слое между сечениями Jf и X + dx. В силу стационарности процесса поток нейтронов, выходящих из данного слоя
М/С* + dx, Li) d[i — [if(x, Li) d[i, (89)
определяется разностью между числом нейтронов, приобретших скорость в заданном направлении (li, Li -|- d[i) в результате рассеяния на частицах вещества в данном слое, и числом нейтронов, имевших скорость в заданном • направлении и изменивших это направление после рассеяния. Мы будем считать, что рассеяние нейтронов на частицах вещества является изотропным, т. е. оно равновероятно во всех направлениях, и вероятность рассеяния нейтрона на одной частице характеризуется эффективным сечением рассеяния Q. Тогда число нейтронов, имевших заданное направление скорости (и., Li + tf"u,) и рассеянных в данном слое, очевидно, равно
f(x, Li) d[i ¦ Qn0dx, (90)
а число нейтронов, приобретших в результате рассеяния скорость в требуемом направлении, равно
і
у d[iQ ¦ n0dx ^ f(x, [i')d[i'. (91)
На основании (89), (90) и (91) уравнение баланса запишется в виде Lif(x -)- dx, ji) d[i — jif(x, (і) d[i —
і
= — Q • nof(x> F) d[t dx + d[i dx ^ f(x, Li') dyJ. (92)
—'i
Разделим обе части равенства на dii dx и перейдем к пределу при dx —>- 0. Учтя (88), получим уравнение для функции распределения нейтронов в виде
Ll 9Jx = - Qn0f(x, [i) + р (JC). (93)
Это уравнение часто называется уравнением переноса или транспортным уравнением. Оно справедливо не только в случае рассмотренной конкретной физической задачи, но и для многих других физических процессов, связанных с переносом вещества или излучения *).
Для дальнейшего удобно переписать уравнение (93) в несколько ином виде, введя безразмерную пространственную координату \,
*) Подробйый вывод уравнения переноса для более общих случаев см., например, Морс и Фешбах, Методы теоретической физики, т. 1, ИЛ, 1958.
МЕТОД ВИНЕРА - ХОПФА
285
связанную с х соотношением X = Xl,, где X = —~—средняя длина свободного пробега. Тогда уравнение переноса примет вид *)
F -щ =-/(1 V) + |p(D- (94)
Функция /(?, ji) должна быть подчинена граничным условиям, вытекающим из физической постановки задачи. Будем считать, что поток нейтронов из внешнего полупространства ? < О равен нулю, а при ? -*¦ оо имеется постоянный поток нейтронов единичной мощности в отрицательном направлении оси \ (т. е. при g —>- оо отсутствуют нейтроны, направление скорости которых составляет с отрицательным направлением оси ? острый угол, отличный от нуля). Тогда граничные условия для функции /(g, (і) запишутся в виде
/(О, (1)=0, JiSs О,
/(сю, ц,) = 0, - 1< (X < 0. (95)
Установим важные следствия уравнения (94) и условий (95), для чего сначала проинтегрируем (94) по (і:
і і і
-^g- jj AS. Ji) Ji ^Ji = — ^ f(l, (і) rfji + -L- р (g) ^ rf|i =
= -p(l) + p(g) = 0. (96)
і
Так как интеграл у (D= ^ Al, Ji) Ji ^Ji равен потоку нейтронов через
— і
данное сечение, то уравнение (96) дает
dl
0 или J(I)S= const. (97)
В силу условий нормировки (при \ -*¦ оо) получим /(?) = —1 (единичный поток при ?-> + сю направлен в отрицательном направлении оси ?).
Теперь умножим (94) на ц и снова проинтегрируем от —1 до 1.
Введя обозначение K(D = \ /(?, ji)|iac/|i, получим
— і
|f=l или = #(0) + 1, (98)
где в силу (95)
K(O)= $/(0, n)n*rfji. (99)
*) Мы сохранили для функции f (|, р) старое обозначение.
286
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Уравнение (94) является интегро-дифференциальным, так как неизвестные функции р (E) и /(Е, (і) связаны интегральным соотношением (88). Однако легко получить интегральное уравнение для функции р (?). Решая обыкновенное дифференциальное уравнение (94) относительно функции /(?, ц,), в силу (95) получим
