Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Свешников А.Г. -> "Теория функций комплексной переменной" -> 109

Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.

Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной — М.: Наука, 2004. — 321 c.
Скачать (прямая ссылка): teorfunckomplekperemen2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 103 104 105 106 107 108 < 109 > 110 111 112 113 114 .. 115 >> Следующая

Выражение (17) дает представление исходного ряда в виде ряда однородных полиномов относительно переменных Z1 = Z1- аь Z2 =
= Z2-Q2
S
Щ(гъ Z2)= 2 Ck,s-kz\h~k- (18)
Так как функции us(zb Z2) являются аналитическими по каждой переменной и ряд сходится равномерно внутри поликруга K(R, а), то в силу теоремы Вейерштрасса (теорема 2.3) функция f(z) также является аналитической но каждой переменной внутри K(R, а), причем ее частные производные можно вычислить путем почленного дифференцирования ряда (17). Как легко видеть, при этом радиус сходимости полученного ряда равен радиусу сходимости ряда (12), и
частные производные І— и ~- непрерывны внутри K(R, а). Отсюда
UZ^ OZi^1
следует, что внутри поликруга сходимости степенной ряд (12) сходится к аналитической функции многих комплексных переменных.
Так же как и в случае одной комплексной переменной, легко установить, что коэффициенты степенного ряда (12) выражаются через
302
ПРИЛОЖЕНИЕ З
значения частных производных его суммы в центре поликруга сходимости—точке а = (аь а.,) —по формулам
1 Qn-т т Сп, т = dz"dz>n f ^
(19)
5. Ряд Тейлора. Покажем теперь, что функции, аналитической в некотором поликруге K(R, а), может быть сопоставлен степенной ряд, сходящийся к данной функции внутри K(R, а). Имеет место
Теорема 3. Функция f(z), аналитическая внутри поликруга K(R, а), единственным образом представляется внутри K(R, а) в виде суммы абсолютно сходящегося степенного ряда
со со
/(*) = 2 Il Сп, т (Zi - O1)" (? - аау».
Доказательство. Возьмем произвольную точку Z^K(R1 а). По формуле (9) имеем
f^=-M^\^^^d^ (20)
с; с-
где С[ и Сг —окружности с центрами в точках O1 и а.г радиусов R[ И /?, удовлетворяющих УСЛОВИЯМ j Z1 — U1 j < Rl < R1 и J Z2 — CL2 I < </?2<%- Из предыдущих рассуждений следует, что рациональная
дробь -т.-^-г-г может быть разложена в абсолютно и равно-
мерно сходящийся относительно ?х и ?2 степенной ряд
со со
1 _ 1V V (Z1-O1)" (Z2-O2)^ 9
Подставляя разложение (21) в (20) и повторно производя почленное интегрирование соответствующих равномерно сходящихся рядов, получаем
со со
/(*) = 2 2 С". m (? - «і)" (? - O8)"», (22)
n=0m=0
где через СЛ| т обозначены выражения
Cn, т = —4-, jj d?i ^ {^_aJJiH'fa-.u2)m + l (23)
что в силу (11) можно переписать в виде
с = 1 ал+"'/(г)
т п\ т\ дгпдг'п
і а
Z = а
(24)
ФУНКЦИИ МНОГИХ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
303
Так как 'Z — произвольная точка K(R, а), то из формулы (22) и следует разложимость функции, аналитической в поликруге K(R, а), в сходящийся степенной ряд.
Сопоставление формул (24) и (19) приводит к заключению об единственности разложения. Теорема доказана.
По аналогии с результатами, полученными для функции одной комплексной переменной (см. теорему 2.6), разложение (22) естественно назвать рядом Тейлора функции f(z).
В заключение заметим, что радиус сходимости R0 ряда (22) может оказаться больше радиуса R поликруга K(R, а). В этом случае сумма этого ряда будет представлять собой функцию, аналитическую в поликруге K(R0, а) и совпадающую с исходной аналитической функцией f(z) в поликруге K(R, а) меньшего радиуса.
Проведенные рассмотрения непосредственно переносятся и на случай многих комплексных переменных.
6. Аналитическое продолжение. Представление аналитической функции многих комплексных переменных с помощью степенного ряда позволяет, так же как и в случае одной комплексной переменной, выяснить вопрос об единственности определения аналитической функции (см. теорему 2.8). Так, если в области G заданы две аналитические функции J1 (Z1, Z2) и /2 (zv Z2), совпадающие в подобласти G' области О, то легко показать, что Z1(Z1, z.,) = f2(zb Z2) при Z = (Z1, Z2) На основании этого положения можно в следующей форме ввести
Принцип аналитического продолжения. Пусть в областях G(1] и G'2', имеющих общую подобласть О'1,2', заданы аналитические функции Z1(Z) и f2(z), совпадающие в О1,2'. Тогда эти функции являются аналитическим продолжением одна другой, т. е. в области G= G(1) -f- G(2) существует единственная аналитическая функция f(z), совпадающая с Mz) в G(1) и f2(z) в G^.
Так же как и в случае одной комплексной переменной, можно строить аналитическое продолжение первоначально заданной в некоторой области G'1' аналитической функции J1 (z) вдоль всевозможных выходящих из области. Gu) цепочек областей, имеющих попарно общие части.
Такое аналитическое продолжение можно, например, получить, разлагая функцию I (г) в степенной ряд Тейлора (22) в окрестности различных точек Z'1, є G'1'. Если радиус поликруга сходимости какого-либо из этих разложений окажется больше расстояния точки г"' до границы области G'1', то мы и получим аналитическое продолжение / (г) на большую область G, содержащую G11'.
При этом мьі приходим к понятию полной аналитической функции F (г) и ее естественной области существования G, или, как говорят, области аналитичности (или, как иногда говорят, области голоморфности). Вообще говоря, аналитическое продолжение может привести и к многозначной функции, областью аналитичности которой
Предыдущая << 1 .. 103 104 105 106 107 108 < 109 > 110 111 112 113 114 .. 115 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed