Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
где Z1 и Z2-произвольные точки, лежащие внутри контуров C1 и C2 соответственно.
*) Так же как и в случае одной комплексной переменной, мы с целью облегчения последующих доказательств включили в определение аналитической функции многих комплексных переменных лишнее условие непрерывности частных производных, что, однако, не сужает рассматриваемого класса функций, как это следует из так называемой теоремы Гартогса (см., например, В. С, В л а-димиров, Методы теории функций многих комплексных переменных, «Наука»,
ФУНКЦИИ МНОГИХ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 299
f (Si. S2)
с.
Воспользовавшись еще раз формулой Коши, получим окончательно
/= SS (»,-ы'("ц^а(-4я')^ ^ (8)
Ci C2
что можно переписать в виде
Я*ь ^ = - і J J (JSfe-S.) <%¦ (9)
Ci C2
Аналогично в случае N переменных имеет место формула
т =/(?,..., zN)=J®*" . (Ю)
CN П (Zft—tfr)
где точки zft лежат внутри замкнутых контуров C11, принадлежащих односвязным областям Ок, и функция /(г) является аналогичной в области O = O1X. . .хОд/. Формулы (9) и (10) и представляют собой обобщения формулы Коши (1.59) на случай многих комплексных переменных.
Из этих формул можно получить ряд важных свойств аналитической функции многих комплексных переменных. В частности, как и в случае одной комплексной переменной с помощью формулы (9) можно показать, что аналитическая функция двух комплексных переменных имеет частные производные всех порядков, для которых справедливы выражения
d" + m/(?i,za)^ п\т\ г ,Т с /(Si, S8)<& nn
dz"dzm 4л2 ) u J (Z1 — ?г)" Г1 (Z2 — S'i)ffl +1 ' ( '
C1 C2
Аналогично устанавливается справедливость принципа максимума модуля и т. д.
Соответствующие результаты получаются из формулы (10) для аналитической функции многих комплексных переменных.
*) См. вып. 2.
Подынтегральная функция в (6) непрерывна по совокупности переменных, что является достаточным условием для возможности изменения порядка интегрирования в данном повторном интеграле *). Следовательно,
'- S * S <..-?•(." и *• (6'>
C2 C1
Так как функция /(Ci, Sa) аналитична по каждой переменной, внутренний интеграл в (6) в силу формулы Коши (1.59) равен
^2 = 2ши-^. (7)
300
ПРИЛОЖЕНИЕ З
4. Степенные ряды. В случае двух независимых переменных степенным рядом назовем выражение
п = 0 т=0
(12)
где С„_ т, o1, а2 — заданные комплексные числа. Имеет место утверждение, аналогичное теореме Абеля (теорема 2.5).
Теорема 2. Если ряд (12) сходится абсолютно в точке zn = (z\ ah z\ + a2), то он абсолютно сходится внутри поликруга К(г°, а) радиуса r0 = (j z\ — O1], \z'2 — a2\), причем в любом поликруге меньшего радиуса *) с центром в точке а ряд сходится равномерно.
Доказательство. В силу абсолютной сходимости ряда (12) в точке z° все члены ряда в этой точке равномерно ограничены. Поэтому имеет место опенка коэффициентов ряда (12)
\Сп,т\^ |2o_0l п.1г«_аг \т\ (13)
с общей константой M для всех коэффициентов. Возьмем произвольную точку Z = (Z1, Z2) внутри поликруга К(г°, а) и положим
I Z1 — O11 = Cj1 j z\ — O1J, I Z2 — а2 j = q2 j z\ — а21,
где 0<о1<;1, 0<о3<;1. Тогда, пользуясь оценкой (13), для выбранной точки z получим
Z Z Cn,m(zi-a,)" (Z2-а2)"
п = о ;« = U
:М 2 2 KW =
(14)
«=0 т = 0
M
(l-ft)(l-«Z2)»
что и доказывает сходимость ряда (12) в точке z.
Так как z — произвольная точка поликруга К(г°, а), то отсюда следует абсолютная сходимость ряда (12) внутри KQ'0, а). Равномерная сходимость ряда (12) в любом поликруге К(г(1>, а) меньшего радиуса доказывается с помощью (14) так же, как и в случае одной комплексной переменной (теорема 2.5).
Доказанная теорема позволяет установить, что областью сходимости степенного ряда является поликруг K(R, а) радиуса R = (R1, R2). Внутри K(R, а) ряд (12) абсолютно сходится, вне данного поликруга—расходится, в любой замкнутой подобласти K(R, а) ряд (12) сходится равномерно. Отметим, что радиусы R1 и R2 определяются совместно и не могут быть, вообще говоря, определены каждый в отдельности.
*) Будем говорить, что радиус га' поликруга К (г'1', а) меньше радиуса поликруга К(гг>, и), если г,1 <.rf, rN'<r'N.
ФУНКЦИИ МНОГИХ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
301
В качестве примера рассмотрим степенной ряд
со со
я=0 т=0
коэффициенты которого представляют собой биномиальные коэффициенты. Так как внутри своего поликруга сходимости ряд сходится абсолютно, то ряд с положительными членами
со со
2 ^ (п + т)\
п\т\ = 0т=0
Z1 j" • ! Z2 ',"> (16)
является сходящимся в поликруге сходимости ряда (15). Сгруппировав члены ряда (16), у которых сумма степеней n + m = s, получим
со
2 ( «її + ! «2 I)5. (16')
s = O
откуда следует, что радиусы и R2 поликруга сходимости ряда (15) определяются из условия /^1 -f- = 1, т. е. при уменьшении значение увеличивается и наоборот.
Рассмотрим ряд (12) внутри его поликруга сходимости K(R, а). Воспользовавшись абсолютной сходимостью ряда, сгруппируем те его члены, у которых сумма степеней n-\-m = s,
со
f(z)=f(Z1, Z2)= Y1U8(Z1, Z2). (17)
s=O
