Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
1. Основные определения.
Будем рассматривать /V-мерное комплексное пространство С , точки которого z = (Z1, Z2, Z^) представляют собой упорядоченную совокупность комплексных переменных zk = хк -\- itjk- Комплексное пространство CN можно интерпретировать как обычное евклидово пространство действительных переменных X1, уь Х\', ух размерности 2Л/. Поэтому понятия открытой и замкнутой области, внутренней, внешней и граничной точки, б-окрестности и т. д. вводятся так же, как и в теории функций многих действительных переменных *). Так, б-окрестностью точки 2° будем называть множество С (б, 2°) точек z=CN, удовлетворяющих условию
|z*-4|<6* *=1. 2,..., N.
Под символом б = (бх, бл') мы понимаем упорядоченную совокупность действительных чисел Oj1 > 0. Множество точек z е= CN, удовлетворяющих условию \zk — z%\<irk (rfc>0) называется поликругом К (г, 2°) радиуса г = (гь rN) с центром в точке z° = (z\, zfo).
Функция W= f(z)=f(zx, Zn) многих комплексных переменных z = (zh ..., Zn), заданная на множестве E er CN, определяется законом, ставящим в соответствие каждому значению Z^E определенное комплексное число w є С1. Так как комплексное число w представляет собой пару действительных чисел и и v (w = u-\-iv), то задание функции f(z) на множестве EczCN есть одновременное задание на соответствующем множестве 2/V-MepHoro
*) См. вып. 2.
ФУНКЦИИ МНОГИХ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
297
евклидова пространства двух действительных функций и(хъ уь ...
хх, у к), V(X^y1, xN, у n) от 2N действительных неременных X1, уь . .., X1X, Ум
f(z) = Il(X1, ух) + Iv(X1, yN). (1)
Функции и (хь yN) и v(xb ..., yN) называются соответственно действительной и мнимой частями функции f(z).
Очевидно, что ряд понятий и свойств функций многих действительных переменных может быть перенесен и на функции многих комплексных переменных. Так, функция f(z), заданная на множестве E с: CN, непрерывна в точке 2° єн Е, по совокупности переменных Z1, ..., Zx, если для любого є > 0 можно указать такое б = (O1, ... од,-), что для всех 2 єн C(S, 2°) имеет место неравенство
|/(2)-/(20) S < 8. (2)
В дальнейшем функцию f(z), непрерывную по совокупности переменных Z1, zN, мы будем просто называть непрерывной функцией.
Если функция f(z) непрерывна в каждой точке z єн Е, то она называется непрерывной на множестве Е. Справедлива
Теорема 1. Необходимым и достаточным условием непрерывности функции f(z) = и (X1, ..., у к) -\- iv (X1, ..., у к) на множестве EczC-v является непрерывность по совокупности переменных действительных функций и(X1, ..., yN) и v(X1, ..., yN) 2N действительных переменных на соответствующем множестве евклидова пространства размерности 2N.
Свойства непрерывных функций одной комплексной переменной непосредственно переносятся на случай многих комплексных неременных. Так, равномерно сходящийся в области G ряд непрерывных функций многих комплексных переменных сходится к непрерывной функции.
2. Понятие аналитической функции многих комплексных переменных. Так же как и в случае одной комплексной переменной в теории функций многих комплексных переменных одним из основных понятий является понятие аналитической функции.
Пусть в области OcC задана функция w=f(z) многих комплексных переменных. Если мы фиксируем значения переменных г'{, ...
2?_j_i, ZN, ТО ПОЛуЧИМ фуНКЦИЮ
/*(**) =/(*?. .... zt, г?+і, zN)
одной комплексной переменной Zi, заданную в некоторой области G1 комплексной плоскости 2;. Пусть при любых фиксированных значениях z°i, 2?_i, zN каждая функция ft (zt) (/=1, 2, ...
N) является аналитической функцией комплексной переменной Z1 єн G,-. В этом случае функцию /(г) будем называть аналитической по каждой переменной в области Q. Производные f \ (zt) функции
298
ПРИЛОЖЕНИЕ З
/; (2,-) по переменной Zi будем называть частными производными функции f(z) и обозначать J^-. Очевидно,
df f (Z1, ... , г,-л, г; + Дг,-, гм> ... , zv)-f (Z1, ... , zv)
= hm -^_-. (3)
Частные производные могут быть выражены через частные производные функций и(хь ..., у и г»(X1, ..., _y,v):
dzt дх^ дхі' к '
причем для них выполняются условия Коши — Римана du _dv ди _ ди .
дх{ ~~ дуі' дуі ~~ дхі' ^ '
Введем теперь основное определение:
Функцию f(z) многих комплексных переменных Z — (Z1, . . ., Z,v) будем называть аналитической *) в области О, если в этой области
функция f(z) аналитична по каждой переменной zit а все ее частные производные непрерывны.
Аналитические функции многих комплексных переменных обладают рядом замечательных свойств, подобных свойствам аналитической функции одной комплексной переменной. Ниже будет дан краткий обзор этих свойств, причем для простоты изложения будем рассматривать случай двух независимых переменных. Для большего числа неременных все рассуждения сохраняют силу.
3. Формула Коши. Пусть f(zh Z2) является аналитической функцией в области Q = O1XG2, причем области Q1 и G2 являются од-носвязными. Возьмем в областях G1 и G3 произвольные замкнутые контуры C1 и C2 соответственно и рассмотрим повторный интеграл
