Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Свешников А.Г. -> "Теория функций комплексной переменной" -> 106

Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.

Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной — М.: Наука, 2004. — 321 c.
Скачать (прямая ссылка): teorfunckomplekperemen2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 115 >> Следующая

и стремящуюся к нулю при у —* со.
Для решения этой задачи мы воспользуемся приемом, часто употребляемым в математической физике. Решим сначала краевую задачу (132), (133) для уравнения
Дк-х2н = 0, (134)
где X2 = Zv0, V0 > 0, а затем в полученных формулах перейдем к пределу при X —>- 0. С помощью метода разделения переменных *) легко получить интегральное представление общего решения уравнения (134), убывающего при у-*~оо, в виде
со
и(х, у)= jj f(K)e~^eikxdk, (135)
— со
где f(k) — произвольная функция параметра k, a ji = ~\/~k2 -j- х2, причем взята та ветвь корня, которая является непосредственным аналитическим продолжением арифметического значения корня ц, = | k j при х = 0. Отметим, что при этом Re (і > 0 при — со < k <С со, что и обеспечивает убывание функции (135) при у~+-\~со. Функция (135) будет удовлетворять граничным условиям (132), (133), если функция /(/г) удовлетворяет функциональным уравнениям
со
$ f(k) єікх dk = е , х>0, (136)
— ээ
OO
\ f(k)L(k)eikxdk=.0, х<0, (137)
— со
где введено обозначение L (k) = (i (k) = Vk2 + х2. Решение задачи (136), (137) легко может быть построено, если функция L(k) является аналитической функцией комплексной переменной k в полосе т_< < Im k < T+ (т_ < О, T+ > 0) и в этой полосе может быть представлена
*) См. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Уравнения математической физики, «Наука», 1972.
МЕТОД ВИНЕРА - ХОПФА
293
в виде
L (k) = (A2 4- a?) L+ (U) ¦ L- (к), (138)
где L+ (к) — функция, отличная от нуля и аналитическая в верхней полуплоскости Im k >т~, причем при | к [ -> со L+(A) стремится к нулю медленнее, чем А~ , а функция L_ (А) — аналитическая в нижней полуплоскости Im А < т+, равномерно стремящаяся к нулю на бесконечности.
При выполнении этих условий непосредственной проверкой, легко убедиться, что уравнениям (136), (137) удовлетворяет функция
где постоянная С определяется из условия
C = ^L+(Ia). (140)
Действительно, подставляя в интеграл (136) первое из равенств (139), замыкая контур интегрирования дугой полуокружности бесконечно большого радиуса в верхней полуплоскости, интеграл по которой в силу леммы Жордана равен нулю, на основании (140) получаем, что интеграл (136) равен е~ах при х>0. Аналогично с помощью леммы Жордана, примененной к интегралу по дуге полуокружности бесконечно большого радиуса в нижней полуплоскости, при х <С 0 легко установить справедливость (137) для функции /(А), определенной второй формулой (139). Итак, решение рассматриваемой задачи связано с возможностью представления (138). В. данном случае функция L (А) = У к2 -f х2 в силу указанного выше выбора ветви корня является однозначной аналитической функцией, отличной от нуля в полосе Im (Zx) < Im А < — Im (Zx) (Im (Zx) < 0). Рассмотрим функцию
l/A" + a2 Yk* + a*
Эта функция при а > — Im (ix) также является аналитической и отличной от нуля в данной полосе, причем 1(А)-н>-1 при \k\~*-oo. Поэтому в силу леммы 2 требуемая факторизация функции L (А), а следовательно, и L (А) возможна. Легко видеть, что функции
L+(A) = Ig+* L_ (А) = \^ЕЕ (142)
+ w k-\-ia ' v ' k — ш v '
удовлетворяют всем поставленным требованиям. Тогда на основании формул (135), (139), (142) получим интегральное представление решения уравнения (134), удовлетворяющего условиям (132), (133) и
294 ПРИЛОЖЕНИЕ 2
— со
где постоянная С на основании (140), (142) равна
С = Ц±±. (144)
Перейдя в (143), (144) к пределу при к—*-0, получим интегральное представление решения исходной задачи
И (X, у)=ъ Є 4 ^ -??'** CfA =

о тт 0 тг OO -і
\ -J=-dk' + e 4 \ 4--cfA I. (145)
J]/—k'(k'-ia) t\k(k — ia) I
Сделаем в первом интеграле (145) замену переменной интегрирования, положив k' = —k. Так как
О со со
gky+ik'x (• e-ky-ikx . г* e-ky-ikx
K-r-=-dk' = —\-—-dk = etn\4+-dk, (146)
_Jj J/—?' (k' — ia) iVk(k + ia) ])Vk(k + ia)
то (145) принимает вид
и(х,у) = У^\еЛ-—^--dk + e 4V-^—-dk\
^Re L-4( ^ J (147)
J V'k(k-ia) ¦ Для вычисления интеграла (147) рассмотрим интеграл
со
7(a, ?)= і' -S^.— dl. (148)
Этот интеграл заменой переменной интегрирования ? -j- ? = it может быть приведен к виду
J (а, f,) = e^l(a, ?), (149)
где
оо
/(«, ?)=C_?^dn. (150)
убывающего при у—*--{-со, в виде
OO
и (х, у) = \ ,, ^ ., e-W* dk, (143)
.1 V k 4- (X (fe — w)
МЕТОД ВИНЕРА-.ХОПФА 295
Так как
' _ \ _^LdT1==_e-api/ (151)
40, ?)= \" —^=- = , (152)
то, проинтегрировав (151), получим
/(а, ?) = ,^-]^\Аа = г^[1-Ф(|/арг)1, (153) J ? (J Iх а K?
2
где Ф (г) = -1= \ е-Л'2 ал- — функция ошибок. Отсюда
Да, P) = K^Il-Ф(|/сф)]. (154)
Возвратившись к (147), получим
и (х, у) = Re [1 - Ф (К— а*)]}, (155)
где Z = JC+ (у.
*) Вычисление интегралов с помощью дифференцирования по параметру см. вып. 2, стр. 409.
Интеграл (150) может быть вычислен с помощью дифференцирования по параметру *):
со __
dl
ПРИЛОЖЕНИЕ З
ФУНКЦИИ МНОГИХ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Теория функций многих комплексных переменных, являющаяся естественным развитием теории функций одной комплексной переменной, в последнее время представляет значительный интерес благодаря эффективным применениям методов этой теории в различных областях естествознания, в частности в квантовой теории поля. В настоящем приложении дается краткий обзор основ теории функций многих комплексных переменных.
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 115 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed