Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Свешников А.Г. -> "Теория функций комплексной переменной" -> 94

Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.

Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной — М.: Наука, 2004. — 321 c.
Скачать (прямая ссылка): teorfunckomplekperemen2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 88 89 90 91 92 93 < 94 > 95 96 97 98 99 100 .. 115 >> Следующая

Теорема 1. Пусть функция f(t), заданная на отрезке [а, Ь], достигает своего абсолютного максимума в некоторой внутренней точке г0, причем /"(/ц)-<0, и пусть существует такое б0>>0, что при \ t — tQ I -< o0 имеет место представление
№ =Ш + ^ (t - t0f + р. (О- (27)
Тогда, если функции ср (t) и jx (t) при \t — tQ\ ^S0 удовлетворяют условиям леммы 3, т. е.
y(t)=c0+Cl(t-t0) + O[(t-tnn (9)
H (0 =c3(t — t0f + 0\(t- t0)*], (23)
то имеет место асимптотическая формула
W(K)= jj q,(0*V«>A = Ij^-ф(Q +О (О")}, (28)
а
если выполнены следующие дополнительные условия:
а) для данного б0 одновременно выполняются соотношения
npu\t-t0\^80 \ii(t)\<-f-^{t-t0f, при \t-t0\>60 f{t0)-f(t)^h>0; б) для некоторого А.0>0 сходится интеграл
(29)
]\<p(t)\e^f(t)dt^M. (ЗО)
a
Доказательство. Разобьем интеграл в (28) на сумму следующих слагаемых:
b i0-6o t0-o(k)
Ч? (X)=^ ф (t)e^f О dt = J (f(t)eUWdt+ $ q(t)eUWdt +
a a U — §o
.0 + 0(?) .0 + oo Ь
+ 5 ф(г)е«<'>Л+ jj ср(t)eUV) dt+ $ <p{t)e№dt, (31)
.0-0(?) (0 + 6(?) «o + oo
МЕТОД ПЕРЕВАЛА
257
где функция б (X) удовлетворяет условиям (24) леммы 3. Крайние интегралы в (31) оцениваются так же, как и в лемме 2. Действительно, используя очевидное неравенство
Я [AQ-Z(Ol = ft — X0) [/(/„)-/(01 + X0 [/(/„) -/(O] ^
^h(X- K0) -f Х0/(ґ0) - X0/(0, (32)
имеющее место при a ^f0-б0 и Х>Х0, получаем
а а
^e(%-ia)f(t0)~h(%-io) ^ і ф(/): e>.of(odt<
< ^feW('o) + ^o[/i-/('o)]e->.A = eW('o)0(e->-'1). (33)
Так же оценивается и интеграл по отрезку [Z0 + S0, Щ- Ддя оценки второго интеграла воспользуемся условиями (27), (29), в силу которых при t0 — O0^t ^(0 —б(X) имеет место неравенство
f" (<о)
f(t0)-№>-f^P-(t-t0?\
-б2 (X).
(34)
Поэтому, повторив выкладки, проведенные при выводе формулы (33), получим
(о-б(1)
jj <p(t)eU(i)dt =eWo)0(e-cw*2<?->), С>0. (35)
fo — o„
Но в силу условия (24) величина в правой части (35) также имеет экспоненциальный порядок малости *). Аналогичным образом оценивается и четвертый интеграл.
Перейдем к рассмотрению основного интеграла формулы (31):
to+ 6 Cf-)
(Я)= $ ф(0ew(0 dt. (36)
to-6 (X)
В силу условия (27) этот интеграл можем переписать в виде
(37)
Приведем интеграл (37) к виду (25), сделав замену переменной _ f ^0I (t — /0)2 = т2. Как легко видеть, полученный при этом интеграл удовлетворяет всем условиям леммы 3. Поэтому окончательно получим
% (X) = & <>«> {у - -Щ^ ф (/0) + О (К- 3/2) *) При 6 (X) = X-2'5 получим o(e-CkU5).
(38)
258
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Поскольку 1F3(A,) отличается от оцениваемого интеграла на величину экспоненциального порядка малости, формула (38) и доказывает теорему.
Замечание 1. Теорема остается справедливой и в том случае, когда один или оба предела интегрирования равны бесконечности, поскольку оценка интеграла (33) остается справедливой и при а = = — оо.
Замечание 2. Мы получили лишь первый член асимптотического разложения интеграла (28). Аналогичным образом можно получить выражение и для последующих членов асимптотического разложения, однако мы на этом останавливаться не будем.
Замечание 3. Проведенное доказательство может быть перенесено и па тот случай, когда максимальное значение функции /(/) достигается в какой-либо из граничных точек отрезка [а, Ь]. При
этом в формуле (28) появляется дополнительный множитель
Замечание 4. В том случае, когда функция /(/) внутри отрезка [а, Ь] имеет несколько максимумов, равных по величине, асимптотическое разложение интеграла (28) по обратным степеням большого параметра А можно получить, оценивая интегралы типа (36) по б-окрестности каждой из точек максимума и суммируя результаты.
Рассмотрим пример применения доказанной теоремы.
Пример 1. Получить асимптотическое разложение гамма-функции Эйлера
со
Г(я+1) = $ xpe'xdx. (2)
о
Представим подынтегральную функцию в виде хре~х = ерХпх~х и сделаем замену переменной, положив x=pt. Тогда интеграл (2) преобразуется к виду
со
Т(рАг\)=рръ\ер№-*) dt. (39)
о
Это интеграл типа (28) с ф(()=1 и /(f) = In/—t. Функция /(г) достигает своего максимального значения при Z0= 1, причем
/(1) = -1, fit)U = о, /"(0Li = -1- (40)
Поэтому по формуле (28) получаем
Г (р А- 1) = (ГP {]/| + О (р-з/*)}^p + I = YWp {l + О (})}• (41)
Тем самым мы получили асимптотическую оценку точности полученной ранее из наводящих соображений формулы (6). Как было указано выше, рассмотренные методы позволяют получить и последующие
МЕТОД ПЕРЕВАЛА
259
члены асимптотического разложения. Приведем без вывода несколько первых членов формулы Стирлинга:
r^lJ^l'jl+^+^-gr^ + ...}. (42)
3. Метод перевала. Перейдем теперь к рассмотрению самого метода перевала получения асимптотических разложений интегралов вида (1):
F(X) =$ср(У)е^<г> dz. с
В силу наводящих рассмотрений пункта 1 естественно предположить, что если контур С таков', что на небольшом его участке значения действительной части и (х, у) функции f(z) = а (х, у) -4- Iv (х, У) достигают наибольшей величины и затем быстро спадают, а мнимая часть v(x, у) остается постоянной (чтобы обеспечить отсутствие нежелательных быстрых осцилляции подынтегральной функции), то основной вклад в величину интеграла (1) и дает интегрирование по данному участку контура С. Поэтому для приближенного вычисления интеграла (1) следует деформировать контур С так, чтобы подынтегральная функция на нем обладала указанными свойствами. При этом, как было установлено нашими предыдущими рассмотрениями, необходимая деформация контура С определяется в первую очередь топографией поверхности уровня функции и(х, у). В частности, контур интегрирования должен проходить через седловую точку поверхности функции и(х, у) в направлении наибыстрейшего изменения этой функции.
Предыдущая << 1 .. 88 89 90 91 92 93 < 94 > 95 96 97 98 99 100 .. 115 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed