Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Точная нижняя грань тех значений а, для которых имеет место неравенство (8.1), называется показателем степени роста функции f(t). Легко, в частности, видеть, что показатель степени роста степенной функции f(t) = tn равен нулю.
Отметим, что функция f(t) может быть комплексной функцией действительной переменной t: f(t) = fx (t) -f- If2 (t), где fx if) и f2 if) — действительные функции.
Введем основное определение.
Преобразованием Лапласа заданной функции fit) действительной переменной t называется преобразование, ставящее в соответствие функции fit) функцию F (р) комплексной переменной р, определенную с помощью интеграла
со
F{p) = \e-Mf{t)dt (8.2)
о
Заметим, что интеграл (8.2) является несобственным интегралом, зависящим от переменной р как от параметра. Очевидно, интеграл (8.2), вообще говоря, сходится не при всех значениях параметра р. Действительно, если функция fit) стремится при ?-^со к отличному от нуля пределу, a Rejt><0, то интеграл заведомо расходится. Поэтому естественно поставить вопрос об области сходимости интеграла (8.2), а тем самым об области определения функции F (р).
Теорема 8.1. Интеграл (8.2) сходится в области Re р > а, где а — показатель степени роста функции f(t), причем для любого х0 > а интеграл (8.2) в области Re/? ^э= X0 > а сходится равномерно.
Доказательство. Для любого р = х-\-1у при х>а можно указать*) такое є > 0, что х>а1 = а + е, причем \f(t) j < Me°it. Тогда, воспользовавшись признаком сравнения сходимости несобственных интегралов **), получим
\Р{Р)с
e-pff(t)dt
; M \ e~xteaJ dt = ¦
M
х~>ах,
(8.3)
*) Это позволяет рассматривать и неограниченные функции, показатель степени роста которых равен нулю. **) См. вкп. 2, стр. 367.
214
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. 8
что и дает основание сделать заключение о сходимости интеграла (8.2) при X >> а. Если х $г лг0 > а, то аналогичная оценка дает
со
\F(p)\^M^er^-^tdt^-K-% (8.4)
Ь
что и доказывает в силу признака Вейерштрасса *) равномерную сходимость интеграла (8.2) по параметру р в области Re/? х{) > а.
Приведенное доказательство существенно опиралось на условия 2 и 3 определения рассматриваемого класса функций / (t) действительной переменной t. Однако можно расширить класс функций / (t), допускающих преобразование Лапласа. Для этого предварительно докажем следующую лемму.
Лемма. Пусть функция f (t) действительной переменной t определена для всех t Эг 0, и пусть существует такое комплексное число р0, что сходится интеграл
со
$ e-patf(t)dt<M. (8.5)
o
Тогда для всех р, удовлетворяющих условию Re р >¦ Re р0, сходится интеграл
СО
\ e'P'f (O dt. (8.6)
o
Доказательство. Обозначим ф (t)-=e~Potf (f) и введем вспомогатель-
CO
ную функцию F(t) =—\ cp(x)dt. Заметим, что F' (t) = 4}(t). Кроме того, і
в силу сходимости интетрала (8.5), очевидно, для заданного є' > О можно указать такое То, что ; F (t) , < е' при t T0-
Рассмотрим теперь интеграл { e~Pff (t) dt, где T1 и T2-произвольные
Л
действительные числа, удовлетворяющие условию T.2>Ti, и представим его в виде
T2 Tj T
\ e-Pff(t)dt= $ e~lp-pi,)tff(t)dt= (e~{p~p'uF' (t)dt.
ft fx T1
Вычисляя последний интеграл по частям, получаем
T
}2е- Ф-Po) ф dt =
т\
T
7V (T%)-e-tp-p°)T> F (T1)+ (р-р0) Je-(p-p°uF (t)dt.
*) См. вып. 2, стр. 424.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
215
Отсюда при T1, Тъ>Т0 и Re(p —р0)>0 получим
$ e-P'f(f)dt T1
¦ (е-Re (р —P0i 7'2^_g-Re(p-p„) Г,) e,_j_
, , 1 P - Po 1 Re (p - Po) T1 _ - Re ip - p0) Г A
^ Re(P-P0) 7^"
<e'
2 +
P-Po
Re (p-Po)
— Re(P-Po) T,
Очевидно, всегда можно так выбрать значение T0, чтобы полученное выражение было меньше любого наперед заданного є > 0. Это на основании признака Коши *) и доказывает сходимость интеграла (8.6).
Можно доказать и равномерную по параметру р сходимость интеграла (8.6) в области Re р Re pt > Re р0,
На основании доказанной леммы можно в качестве основного класса функций f (t) действительной переменной t, для которых строится преобразование Лапласа (8.2), рассматривать функции, удовлетворяющие условию (8.5). Функции, удовлетворяющие данному условию, будем называть принадлежащими классу А (р0).
Итак, с помощью преобразования (8.2) функция F (р) комплексной переменной р определена в полуплоскости комплексной плоскости р правее прямой Reр = а, параллельной мнимой оси.
Заметим, что из формулы (8.3) следует, .что \F(p)':-*-0 при Re р -*¦ со.
Функция F (р), определенная через функцию f(t) с помощью преобразования (8.2), называется изображением Лапласа функции f(t). Функция f(t) называется оригиналом функции F (р). Связь функций f(t) и F (р) будем- символически обозначать следующим образом **):
/У)фР(р)
или
(8.7)
Отметим, мто в практических приложениях часто пользуются так называемым преобразованием Хевисайда:
F (р)=р \ e-»f(t)dt,
(8.8)
отличающимся от преобразования Лапласа дополнительным множителем р. Очевидно, область определения функции F(р) та же, что и для функции F (р). В дальнейшем мы будем рассматривать только преобразование Лапласа (8.2). Свойства преобразования Хевисайда (8.8) легко могут быть получены на основании рассматриваемых ниже свойств преобразования Лапласа.
