Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Свешников А.Г. -> "Теория функций комплексной переменной" -> 78

Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.

Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной — М.: Наука, 2004. — 321 c.
Скачать (прямая ссылка): teorfunckomplekperemen2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 72 73 74 75 76 77 < 78 > 79 80 81 82 83 84 .. 115 >> Следующая

Например, рассмотрим электростатическое поле, описываемое комплексным потенциалом
f(z) = — /2е In z, е> 0. (7.93)
*) Очевидно, то, что потенциальная функция в электростатике является мнимой частью комплексного потенциала, а в гидродинамике потенциал скорости является действительной частью комплексного потециала, представляет собой несущественное различие, которое может быть устранено введением дополнительного множителя, равного —І. Однако мы придерживаемся установившейся терминологии, при которой имеет место указанное различие.
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ
207
Введя полярные координаты г, ср и учтя, что z = ге'ф, получим
Отсюда следует, что эквипотенциальными поверхностями данного поля являются концентрические окружности с центром, в начале координат, а силовыми линиями — лучи ср = const. Вектор E в каждой точке z ф 0 направлен по лучу ср = const, а по абсолютной величине в силу формулы (7.84) равен
Так как интеграл по любой окружности [ z | = г от нормальной составляющей напряженности данного поля имеет постоянное значение, равное 4ле, то, очевидно, это поле создается точечным зарядом величины е, находящимся в начале координат (в пространстве заряды, создающие данное поле, распределены с постоянной плотностью е вдоль прямой, перпендикулярной плоскости х, у и проходящей через начало координат).
Рассмотрим некоторые типичные задачи электростатики, которые могут быть решены с помощью комплексного потенциала.
а) Определение плотности распределения заряда на идеально проводящем проводнике. Пусть боковая поверхность идеально проводящего проводника представляет собой бесконечный цилиндр, поперечное сечение которого ограничено контуром С. Предположим, что плотность распределения заряда постоянна вдоль образующих цилиндра и на единицу длины цилиндра приходится заряд е. Требуется определить поверхностную плотность заряда o(s) на контуре С поперечного сечения. Очевидно, решение данной задачи дается формулой (7.90) при нормировочном условии (7.88). Тем самым задача сводится к построению комплексного потенциала f{z), являющегося аналитической функцией вне контура С, при условии, что мнимая часть f(z) имеет постоянное значение на контуре Сив окрестности точки Z = Co разложение f(z) дается формулой (7.92), где O)00 = O, а коэффициент е равен заряду, приходящемуся на единицу длины проводника.
Начнем с простейшего случая, когда проводник представляет собой круговой цилиндр единичного радиуса. ВыШе было показано (см. стр. 206), что эквипотенциальные линии комплексного потенциала (7.93) представляют собой концентрические окружности с центром в начале координат. Поэтому, чтобы удовлетворить условию на границе проводника, естественно искать потенциал данного поля в виде
V (г, ср)
2elnjzj = 2e-ln-l,
и (г, ф) = 2е arg z = 2еф.
f{z) = —1С I« z,
208
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
[ГЛ. 7
где С —постоянная, подлежащая определению. Из условия на бесконечности (7.92) получим C = Ie. Тогда формула (7.90) дает очевидный результат
Если контур поперечного сечения проводника представляет собой произвольную замкнутую кривую С, то осуществив с помощью функции ? = ф (г) конформное отображение области вне контура С на внешность единичного круга j ? J > 1 так, чтобы удовлетворялось условие ф(оо) = со, мы сведем задачу к только что решенной. Тем самым комплексный потенциал будет иметь вид
/(z) = —/2elncp(z), (7.94)
а для плотности поверхностных за-рядов согласно (7.90) получим выражение
0-(S) = ^!/'
е 1 dl е dl е dz
2л Ф (г) dz С 2л dz С — 2к dl
—1
(7.95)
В качестве примера рассмотрим задачу об определении плотности заряда на полосе ширины 2а. Пусть данная полоса пересекает плоскость лг, у по отрезку —а < х < а. Функция
а ff і 1
z = ^-+^-
производит конформное отображение внешности единичного круга плоскости ? на плоскость z, разрезанную по отрезку действительной оси —a<ix<С а. Поэтому формула (7.95) дает
ЛИ Є 1 (7.96)
о (х) =
е
:2л
ал , ?2—1 hg.
Так как
-VI
то формула (7.96) дает
, ч еа 1
G(X) =
2л Va^ — x2 \х + іУа2-
2 V
(z + ]/z2-a2),
—а<х<а
Є

(7.97)
Заметим, что плотность заряда неограниченно возрастает при приближении к краю пластины. Этот факт имеет простой физический смысл. Край пластины имеет бесконечную кривизну, и для того, чтобы зарядить его до некоторого потенциала, надо поместить на него бесконечный заряд.
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ
209
б) Определение поля бесконечного плоского конденсатора. Пусть требуется найти электростатическое поле между двумя заряженными до некоторого потенциала идеально проводящими непересекающимися цилиндрическими поверхностями, образующие которых параллельны между собой, а направляющие проходят через бесконечно удаленную точку плоскости z (рис. 7.3). В этом случае задача состоит в определении в криволинейной полосе 1S комплексного потенциала /(г), представляющего собой аналитическую функцию, мнимая часть которой принимает постоянные значения V1 и TJ2 на кривых C1 и C2. Очевидно, аналитическая функция w=f(z) осуществляет конформное отображение данной криволинейной полосы плоскости z на полосу плоскости w, ограниченную прямыми ImW = V1, Im W = V2. Тем самым для решения данной задачи достаточно построить указанное конформное отображение.
Предыдущая << 1 .. 72 73 74 75 76 77 < 78 > 79 80 81 82 83 84 .. 115 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed