Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
f(z) = W00Z +2™. In z + \ J-. (7.63)
п —О
Рассмотрим теперь задачу обтекания замкнутого контура плоскопараллельным потоком. Пусть поток, имеющий на бесконечности заданную скорость W00 и циркуляцию T00, обтекает тело 5, ограниченное замкнутым контуром С. Требуется определить скорость в любой точке потока по заданным гидродинамическим характеристикам на бесконечности при условии, что в точках контура С скорость течения направлена по касательной к контуру С. Последнее условие означает, что кривая С представляет собой линию тока рассматриваемого течения, т. е. мнимая часть комплексного потенциала, описывающего данное течение, должна сохранять постоянное значение на кривой С
v (х> У) !с = const. (7.64)
Задача сводится к определению вне контура С на комплексной плоскости аналитической функции f(z), в разложении (7.63) которой заданы значения W00 и T00, а на контуре С выполняется условие (7.64). Так как комплексный потенциал определен с точностью до постоянного слагаемого, то значение постоянной в условии (7.64) можно положить равным нулю.
Начнем с задачи обтекания кругового цилиндра радиуса R с центром в начале координат. Пусть скорость потока на бесконечности равна V00 и направлена параллельно оси х, а циркуляция отсутствует, Гсо = 0. Мы должны найти комплексный потенциал, разложение которого в окрестности бесконечно удаленной точки имеет вид
со
/(Z) = V00Z+ 2 -in (7-65)
я = 0
и мнимая часть которого обращается в нуль при \ z \=R. Комплексный потенциал такого тина был нами уже рассмотрен в примере д) на стр. 196. Поэтому решение данной задачи имеет вид
f (Z) = VaO [Z + ?}. (7.66)
При этом скорость в точках, лежащих на обтекаемом цилиндре, определяется формулой (7.57), откуда следует, что она обращается
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ
199
в нуль в двух критических точках: в точке z = — R, в которой линия тока у = 0 разветвляется па две линии тока, совпадающие с верхней и нижней полуокружностями I z ! =fi,HB точке z = R, в которой эти линии тока сходятся опять в прямую у = 0. Эти точки называются точкой разветвления и точкой схода соответственно. Заметим, что если скорость потока па бесконечности не параллельна оси х, а имеет вид W00 = v0=<?'<p», то с помощью преобразования 1, = ге~1^ мы приходим к уже рассмотренной задаче на плоскости ?. Тогда для решения исходной задачи получим выражение
W00Z -
(7.67)
Пусть теперь циркуляция T00 не равна нулю. Как мы видели выше (см. пример в) на стр. 195), линии тока у течения с комплексным потенциалом /а In г (а—действительное число) представляют собой концентрические окружности с центром в начале координат. Поэтому комплексный потенциал течения, обтекающего круговой цилиндр радиуса R с заданной скоростью на бесконечности V00 и заданной циркуляцией T00, имеет вид
Я2\ Гоо
2 і 1 2лі
(7.68)
Найдем критические точки течения, в которых скорость течения обращается в нуль. Согласно формуле (7.36) имеем
Отсюда
W-
' г2 у 2ліг
0.
2mv„
(7.69)
При R] этому
4nv„
Rt
16.T2Vl
(7.70)
подкоренное выражение в (7.70) положительно. По-
* кр
16.T2Vl
¦ +
16n2vl
т. е. обе критические точки находятся на окружности \z\=R обтекаемого цилиндра, причем при Г,м>0 (V00 > 0) обе точки лежат на верхней, а при Гоо<0 (V00 >0)- на нижней полуокружности. Тем самым наличие циркуляции сближает точки разветвления и схода ли-
200
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. 7
ний тока (рис. 7.1). При
дают (с точкой z = iR при Г Г
Наконец, при
4.tv_,
>R
= R обе критические точки совпа-0 или точкой z = — IR при T00 < 0). в области \z\^>R остается лишь одна
критическая точка, лежащая на мнимой оси у. (Как следует из уравнения (7.69), произведение корней этого уравнения равно —R2, поэтому вторая критическая точка лежит внутри окружности \z\=R.) Через эту точку проходит линия тока, отделяющая замкнутые линии тока течения от незамкнутых (рис. 7.2).
Рис. 7.
Рис. 7.2.
Полученные результаты позволяют в принципе решить задачу обтекания произвольного замкнутого контура С. Действительно, пусть функция ? = ф (z) осуществляет конформное отображение области Z комплексной плоскости z, внешней контуру С, на область У плоскости ?, внешнюю единичной окружности ?, = 1) так чго ф(со) = = со. Тогда, очевидно, рассматриваемая задача оказывается эквивалентной задаче обтекания кругового цилиндра единичного радиуса. При этом скорость потока на бесконечности, которая, вообще говоря', изменится, может быть легко определена. Комплексный потенциал f(z) исходного течения при данном конформном преобразовании перейдет в функцию F (L) =f[z (L)]. Поэтому по формуле (7.36) найдем
W ——
df I dz I _dz I
dz \z = ээ dZ со 00 dZ\
,„ dz
Woo = 1Wx, ¦=
В силу формул (7.67) и (7.68) решение преобразованной задачи имеет вид
_ W Г FQ= W^L + -f + 111 ?•
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ
201
Отсюда для решения исходной задачи получим выражение
dz
W
A7 і СО АУ у
f(z) = F[l(z)] = wo0fr\ <p(z) ' ^
^ пер (г). (7.71)
dt, I5 = «, ' Ф(г) 1 2лі
