Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
MH/'WI = }?! = 1^, (7-48)
а вектор скорости направлен по лучу ср = const. Из (7.48) следует, что в начале координат скорость обращается в бесконечность. Точка z = 0, особая точка функции /(z), в этом случае является источником течения (положительным источником при а > 0, когда скорость направлена от начала координат, и отрицательным источником или стоком при а<0, когда скорость направлена к началу координат). Взяв произвольный замкнутый контур С, содержащий точку z = 0 внутри, по формуле (7.44) получим
^ /' (z) dz = Jj у dz = i2na = Гс -f INс ¦ с с
Отсюда Nc = 2ла. Тем самым в рассматриваемом случае поток жидкости через любой замкнутый контур, содержащий внутри источник, постоянен и равен 2ла. Эту величину называют мощностью источника.
в) Пусть комплексный потенциал имеет вид
f(z) = la. In z, (7.49)
где а — действительное число. В этом случае линии тока представляют собой концентрические окружности с центром в начале координат. Из формулы (7.44), так же как и в предыдущем случае, получим Nc=O, Гс = —2яа. Точка Z = O в этом случае называется вихревой точкой течения.
г) Пусть комплексный потенциал течения имеет вид
/(z) = а In (z + Ii) - a In (z - /г), (7.50)
где а — положительное действительное число, a h — некоторая комплексная постоянная. Согласно предыдущему этот потенциал определяет течение с положительным источником в точке Z = — h и стоком в точке z = -j- h, причем мощность источника и стока одинакова и равна 2ла. Перепишем (7.50) в виде
f(z) = a2h 1"f' + *)-l"('-ft)
и перейдем к пределу при й->0, полагая, что мощность источника и стока при этом возрастает так, что величина т = a2h остается
196
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. 7
постоянной. В результате получим
/0(2)=-7-- (7-51)
Функция (7-51) представляет собой комплексный потенциал диполя мощности т, находящегося в начале координат. Линии тока диполя, очевидно, определяются уравнениями
ту
= С
х2+у2 или
С (х2 +у2) +ту = 0, (7.52)
т. е. представляют собой окружности с центрами на оси у, касающиеся оси X в начале координат. При этом абсолютная величина скорости, равная
,,mm ._ соч
1^1=^7 =1НГу> (7-53)
стремится к нулю на бесконечности.
д) Рассмотрим течение, комплексный потенциал которого имеет
вид
/(«) = v00«+ -j-, (7.54)
где v0, и т — положительные действительные числа. Очевидно, это течение представляет собой суперпозицию плоскопараллельного течения со скоростью, параллельной оси х и равной vOT, и течения, создаваемого диполем мощности т, находящимся в начале координат. Линии тока этого течения определяются уравнениями
W- ^??- = С. (7.55)
Значению C = O соответствует линия тока, уравнение которой имеет вид
I т \ п
Она распадается на прямую у = 0 и окружность х2+у2 = а2, где аг __ Так как
vco
/'(*) = vM-^== v00(I-j-), (7.56)
то на бесконечности скорость течения равна v00 и направлена вдоль оси х. В точках окружности х2 +у2 = а2, являющейся линией тока, скорость направлена по касательной к этой окружности. Для абсолютной величины скорости в точках окружности z = ael<f из фор-
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ
197
мул (7.36) и (7.56) получим
I W J J і г = а = ! TJz) I , z . = а = V33 | 1 - Є2<> I = 2Vco j Sin ф j. (7.57)
В рассмотренных примерах мы по заданному комплексному потенциалу определяли гидродинамические характеристики течения. Перейдем теперь к решению в определенном смысле обратной задачи, задачи об определении комплексного потенциала течения по его гидродинамическим характеристикам. Заметим, что поскольку физическая- скорость течения выражается через производную комплексного потенциала (см. формулу (7.36)), то сам комплексный потенциал для заданного течения определяется неоднозначно. Однако его производная является однозначной аналитической функцией. Это означает, что в окрестности любой правильной точки течения имеет место разложение
со
f (г)= У) ап(г-Z0)», (7.58)
п= 1
а в окрестности изолированной особой точки — разложение
со
/''(*) = Z K(Z-Z0T- (7.59)
п — — СО
Из (7.59) для комплексного потенциала в окрестности особой точки Z0 получим разложение
со
/(*) = *_! In (г-z0)+ 2 cn(z-z0T. (7.60)
п — — со
В частности, если бесконечно удаленная точка Z00 принадлежит области течения и комплексная скорость
^CO = (Vx)oo + / (Vy)00
течения в этой точке ограничена, то разложение комплексного потенциала в окрестности точки Z00 имеет вид
со
f(z) = wmz + Jl1 In z+ 2 (7.61)
Отсюда получим
J /' (z) dz = 2nib_b (7.62)
cr
где Cr — окружность [ z I = R достаточно большого радиуса R, вне которой нет особых точек функции f(z), за исключением ТОЧКИ Z00. С другой стороны, в силу формулы (7.44) интеграл (7.62) определяет поток и циркуляцию вектора скорости через кривую Cr. Так как
198
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. 7
скорость в точке Zco ограничена, то эта точка не является источником, поэтому поток вектора скорости через кривую CR равен нулю, и формула (7.62) дает
2jt(Tl1 = Гсо.
Выпишем окончательное разложение комплексного потенциала в окрестности бесконечно удаленной точки, являющейся правильной точкой течения:
