Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
rotH = -1-^ + 4^^, rotE = -
P пі 1 P J 1
с dt'
div D = 4лр, div B = O, D = єЕ, В = цЯ
rot E = O, div E = — р,
(7.78)
*) См. И. е. T а мм, Основы теории электричества, «Наука», 1966.
204
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
[ГЛ. 7
Очевидно, при этом вектор E имеет лишь две отличные от нуля компоненты, которые также являются функциями лишь координат х,у:
E (X, у) = \ЕХ (х, у) + ]ЕУ (х, у). (7.79)
В силу первого из уравнений (7.78) поле E является потенциальным: E(х, у) = — gradV(х, у), Ex = —Еу = — ^, (7.80)
причем па основании второго из уравнений (7.78) функция v(x, у) удовлетворяет уравнению
Av = - 4яр (х, у). (7.81)
Из (7.81) следует, что в области, свободной от зарядов, потенциальная функция v(x, у) является гармонической. Поэтому в этой области можно построить аналитическую функцию комплексной переменной
/(Z) = U(X, у) + Iv (х, у), (7.82)
для которой потенциальная функция v(x, у) данного электростатического поля является мнимой частью.
Функция (7.82) называется комплексным потенциалом электростатического поля. Линии уровня v(x, у) = С называется эквипотенциальными линиями данного поля. Из формул (7.80) следует, что вектор напряженности E в,каждой точке эквипотенциальной линии v(x, у) = С направлен по нормали к этой линии. Так как линии V(х, у) = С и и(х, у)= С взаимно ортогональны, то направление вектора E совпадает с касательной к линии и(х, у) = С в каждой точке этой кривой. Поэтому линии и (х, у) = С являются силовыми линиями данного поля.
Сопоставим вектору E комплексное число w = Ех-\-1Еу. Тогда на основании (7.80) и условий Коши — Римана получим
„ , . „ dv .dv dv .du
w = Ex + iby = -dx-idy= --ді-іГх =
_ ;du .dv\
Отсюда
|E ; = (z) I- (7-84)
Формулы (7.83) и (7.84) дают выражение компонент вектора напряженности электростатического поля в области, свободной от зарядов, через производную комплексного потенциала.
Пусть заряды, создающие данное электростатическое поле, сосредоточены в некоторой области, ограниченной замкнутой кривой C0 *).
*) Это означает, что в пространстве заряды распределены внутри бесконечного цилиндра, контуром поперечного сечения которого является кривая C0, причем плотность распределения зарядов не зависит от координаты г вдоль образующей цилиндра, а является лишь функцией координат х, у в поперечном сечении.
§ 2] ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ 205
Так как электростатическое поле всюду потенциально, то циркуляция этого поля по любому замкнутому контуру равна нулю, т. е.
с с
Рассмотрим интеграл по замкнутому контуру С от производной комплексного потенциала:
S /' (*) dz = \ I dx - % dy +1 jj I dx +1 dy. (7.86)
CC C
Сравнение приведенных выше формул дает
5 /' (z) dz = \Ends = Ine, (7.87)
с с
т. е. заряд, заключенный внутри области, ограниченной контуром С, определяется интегралом по этому контуру от производной комплексного потенциала электростатического поля, создаваемого данным распределением заряда. Если C0 представляет собой контур поперечного сечения идеально проводящего цилиндра, то весь заряд сосредоточен на его поверхности с поверхностной плотностью о (s), причем
\ a (s) ds = е. (7.88)
с„
Как известно **), имеет место соотношение
1
C0- 4л^гаа^
(7.89)
С другой стороны, из (7.83) и (7.89) получим
1
4л
о (S)==+ ¦.1-!/'W !е.. (7.90)
*) См. сноску на стр. 203. **) См. сноску на стр. 203.
Тогда интеграл по любому замкнутому контуру С, содержащему C0 внутри, от нормальной составляющей напряженности электрического поля, согласно теореме Гаусса *), равен суммарному заряду (отнесенному к единице длины цилиндра, в котором распределены заряды в пространстве):
\Ends = Ane. (7.85)
с
На основании формул (7.80), (7.37), (7.38), учитывая соотношения Коши — Римана, получим
206
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. 7
Знак в формуле (7.90) определяется знаком суммарного заряда е, распределенного на поверхности данного идеально проводящего проводника. Формула (7.90) находит многочисленные приложения при решении различных задач электростатики.
Заметим, наконец, что, так же как и в задачах гидродинамики, производная комплексного потенциала /' (z) на основании (7.83) является однозначной аналитической функцией z. Если напряженность данного электростатического поля ограничена на бесконечности, то разложение /' (z) в окрестности точки z = оо имеет вид
со
/'(Z)=W00+ 2
Отсюда для самого комплексного потенциала получим разложение
со
/(г) = W00Z+ C0+U1Inг+ 2 -?"- (7•9I)
Так как
Ь^^.] f (Z) dz,
где контур Сд содержит все заряды, создающие данное поле, внутри, то из (7.87) получим окончательное разложение комплексного потенциала в окрестности точки Z = оо в виде
со
f (Z) = W00Z-i2e In z+ 2 -?-. (7.92)
п=0
Как мы видим, комплексный потенциал электростатического поля имеет чрезвычайно много общего с комплексным гидродинамическим потенциалом *). Поэтому исследование плоского электростатического поля с помощью комплексного потенциала может быть проведено теми же методами, что и решение соответствующих гидродинамических задач. Так, все примеры течений, рассмотренные на стр. 194— 196, допускают простую электростатическую интерпретацию.
