Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
В качестве примера рассмотрим бесциркуляционное обтекание бесконечной пластинки плоским потоком жидкости. Пусть плоскость х, у пересекает пластинку по отрезку — a ^ х =г^ а, а вектор скорости потока лежит в плоскости х, у и на бесконечности имеет заданное значение Wx,. Как следует из рассмотрения свойств функции Жуковского (см. гл. 6, стр. 173), функция
2 = |*) = Ф(?) (7.72)
осуществляет конформное отображение внешности единичного круга плоскости Z1 на плоскость г, разрезанную по отрезку — a ==? х а.
При этом ф(оо) = оо и J; —'% ¦ Поэтому рассматриваемая за-
ClL, j? = со Z
дача эквивалентна задаче обтекания без циркуляции кругового цилиндра единичного радиуса на плоскости ? потоком, имеющим на
бесконечности комплексную скорость W00 = -g- W00. Комплексный потенциал последней задачи имеет вид
Подставим сюда вместо ? и ^ найденные из (7.72) величины P г+Кг2—а2 1 г—|-'г2—о2
а
Здесь ],' г3 —а2>0 при z = x~>a. Разобьем W00 на действительную и мнимую части:
«'со = (V.v)co T і (V_y)co.
Тогда для комплексного потенциала исходной задачи получим окончательное выражение
f(z) = (yx)ocZ - / (V3O00 У z2 - а2. (7.73)
В заключение найдем силу, действующую со стороны потока на обтекаемое им тело. Сила давления, действующая па элемент ds дуги контура С, пропорциональна гидродинамическому давлению р в данной точке потока и направлена по направлению внутренней нормали — dn = —і dy + j dx. Поэтому для компонент силы, действующей на контур С, получим выражения
Rx = — \р dy, Ry = \p dx.
Q С
202
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
[ГЛ. 7
Определив гидродинамическое давление р из интеграла Бернулли:
где А — постоянная, ар — плотность жидкости, и введя комплексную величину R = RyArJRx, получим
R
= ~ jj V2 (dx -idy) = — ¦f- [ v2 dz. (7.74)
с с
(Интеграл от постоянной А по замкнутому контуру С, очевидно, равен нулю.) Преобразуем интеграл (7.74). Так как в точках контура С скорость направлена по касательной к контуру, то комплексная скорость течения w связана с величиной физической скорости v соотношением W = Ve^, где ф —угол между касательной к контуру и осью х. Тогда формула (7.36) дает ve4® =/' (z). С другой стороны,
dz = dse-^. Поэтому vid~z = v2e-i^dsei<f=f"idz, и формула (7.74) примет вид
R = - I Ij f'Hz) dz. (7.75)
с
Это так называемая формула Чаплыгина, выражающая силу, действующую со стороны потока на обтекаемое им тело, через производную комплексного потенциала. Из выражения (7.63) для комплексного потенциала вне обтекаемого тела получим
со
/'(*)=*«+йі4+у a-,
/1 = 2 со
/'*(г) = E^ + OJt0+ \ 4.
J v яг г ^_ гп
Следовательно,
\f'*(z) dz = 2^T0»
с
Подставив это выражение в формулу (7.75) и отделив действительную и мнимую части, найдем
Rx = P (УуЬГсо, Ry = —р (VxUT30. (7.76)
Отсюда
IRi = PlVCoI-IrCc;. (7.77)
Формула (7.77) представляет собой теорему Жуковского о подъемной силе: сила давления безвихревого потока, имеющего на бесконечности скорость vOT и обтекающего контур С с циркуляцией
§ 2].
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ
203
Г, выражается формулой IRl = PIv00J- -Г|. Направление этой силы получается поворотом вектора V00 на прямой угол в сторону, противоположную циркуляции.
Использование аппарата аналитических функций комплексной переменной позволило Н. Е. Жуковскому и С. А. Чаплыгину развить методы решения задач гидро- и аэродинамики, послуживших теоретической' основой для практики авиастроения. Тем самым методы теории функций комплексного переменного сыграли огромную роль в развитии современной авиации.
2. Плоское электростатическое поле. Методы теории функций комплексной переменной, использованные в предыдущем пункте ДЛЯ изучения плоского потенциального течения идеальной жидкости, могут быть столь же успешно применены и при исследовании любого плоского векторного поля иной физической природы. В этом пункте мы рассмотрим применение данных методов к решению некоторых задач электростатики.
Задачи электростатики заключаются в определении стационарного электрического поля, создаваемого в среде- заданным распределением зарядов. В зависимости от постановки конкретной физической задачи задаются или плотность распределения зарядов как функция координат, или полный заряд, распределенный на поверхности идеального проводника. В последнем случае основная цель исследования заключается в определении плотности распределения зарядов на поверхности проводника.
Чтобы получить основные уравнения для вектора напряженности электростатического поля, будем исходить из общей системы уравнений Максвелла *) в изотропной среде:
В случае стационарного электромагнитного поля уравнения Максвелла для вектора E напряженности электрического поля в однородной среде принимают вид
где є— диэлектрическая постоянная среды, а р —плотность статических зарядов, создающих данное поле. В дальнейшем будем считать 8=1 и будем рассматривать плоскую задачу, когда заряды, создающие поле, распределены в пространстве так, что плотность их распределения не зависит от одной из координат (например, от координаты г), а является функцией лишь двух других координат, т. е. р = р(лг, у).
