Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Свешников А.Г. -> "Теория функций комплексной переменной" -> 82

Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.

Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной — М.: Наука, 2004. — 321 c.
Скачать (прямая ссылка): teorfunckomplekperemen2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 115 >> Следующая

Свойство 1. Если F1 (р) = ft (t), re р > аг (i = 1, ..., и), то
F(P)=^1 K1F1 (р) ф ? aJi (t), re р > max аь (8.20)
(=1 /=1
где а; — заданные постоянные числа (действительные или комплексные), at — показатели степени роста функций /(- (t).
Данное свойство позволяет по найденным изображениям функций (8.13), (8.18), (8.19) найти изображения многочлена, тригонометрических и гиперболических функций.
*) Определение и свойства гамма-функции см. вып. 2, стр. 434.
§ 1] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 219
cos at = ~- (e,bit + е'ш) -- і —'—.—f--р . - ., -і —, ,
Re р>, Im со;. (8.21)
Аналогично
sin tut ¦^- „ Ю .;, Rep> Im со I. (8.22)
р* -|- CO" '
б) Свойство 2. Пусть F (р) == /(і), Re /? > а, тогда Действительно.
-^F1 ?:==/(00, «>0, Re/>>a. (8.23)
СО СО р
$ е-*/(а*) A = 1 е~ « Т /(т) eft = 1F [-?
о о
в) Свойство 3 (теорема запаздывания). Пусть F(р) == == /(г), Re /7 >¦ а и задана функция
( 0, /<т, т>0,
A(O = I /(,_т)> (8-24)
Тогда
AV) = Fx(P) = е-" F(p). (8.25)
Действительно,
со со
(Я) = \ є'?1 A (t) dt = \ е-Р( f(t - т) dt.
6 t
Сделаем в последнем интеграле замену переменной, положив / — T = f. Тогда
со
Fx (P) = \ е~р {t'+x)f(0 dt' = е-^ F (р),
о
что и, доказывает свойство 3.
В качестве первого примера рассмотрим изображение ступенчатой функции ГО, t<x,
/(0=Ы0, ят^<(я+1)т, я=1,2, ... (8'26)
Представим / (г) с помощью единичной функции Хевисайда а0:
/(0 = ЫМ'-т) + а„ (/-2т) + ...]. Использовав свойство линейности и теорему запаздывания, получим
nt)-±F(p) = U<r" --j-+/0<r«" j" + - = 7T3ppt- (8-27)
Например, с помощью (8.13) получим
1 , , _;...... l.'l , 1 ^ P
220
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
ІГЛ. 8
Аналогично легко показать, что изображением периодической функции
fit) = } n = 0, 1,2,..., (8.28)
/w \ -fo, (2n+l)Ts?^<(2n + 2)T ' K '
является функция
Теорема запаздывания позволяет получить и довольно общую формулу для изображения периодической функции. Предварительно рассмотрим тот случай, когда функция / (г) действительной переменной t имеет вид
( ф (0, 0 t < т,
Обозначим изображения функций ф(()т' Ф(р) и <р (? + т) = Фт (р). Перепишем (8.30) в виде
Воспользовавшись линейностью изображения и теоремой запаздывания, получим / (0-•--FiP) = O (р)-е-Р* Фх (р). (8.31)
Пусть теперь функция ф (0 является периодической функцией t с периодом т, т. е.
(р(* + т) = ф(<). (8.32)
Тогда фт(р) = ф(р), и формула (8.31) позволяет выразить изображение Ф (р) периодической функции ф (t) через изображение F (р) функции f(t), равной функции ф (t) на первом периоде 0 =?. t =? т и нулю вне его при t>:X:
ф (Р) = Т~1Гг- (8-33)
В качестве примера найдем изображение функции
Ф (0 =! «п u>t\, со > а. (8.34)
1T
Эта функция является периодической при t > 0 с периодом -~ . Предварительно найдем изображение функции
я
sin ffl^, 0 s? t s?- ( /(0={ ^ (8.35)
С помощью формул (8.31), (8.22) и равенства sin <в f (+-^M = — sin со< получим
fin--¦F(V) ю і с~Р^ ¦ Ш - Ю (і і с~^Р) Отсюда по формуле (8.33) получим
я
— P
sin erf — -^-—5 • —1-—- = -0-;—г • cth ?- . (8.36)
1-е <°
основные свойства преобразования лапласа
221
г) Изображение производной. Сейчас будет доказано одно из основных свойств изображения, позволяющее заменить дифференцирование оригинала умножением изображения на независимую переменную.
Свойство 4. Если функция f (t) удовлетворяет условиям существования изображения и f(t) == F (р), Re /? > а, то
Г (t)=pF(p)—f(0), Rep>a. (8.37)
Действительно, интегрируя по частям, получаем
со со со
П0 = $ е-*f(t)dt = e-ptf(t) Arp\ e~ptf(t)dt = PF(p)-f(0),
О U о
что и доказывает данное свойство. Аналогично может быть доказано
Свойство 4'. Если функция /(/г) (t) удовлетворяет условиям существования изображения и f(t) = F (р), Re /? > а, то
/<«40 = ^{F(.)-^-^-...-^}, Re,>a. (8.38)
Формула (8.38) особенно упрощается в том случае, когда /(0) = = /' (0) =... =/(«-1» (0) = 0:
/с) (t) фр*Е (р). (8.39)
Полученный результат находит многочисленные применения.
Рассмотрим, например, решение следующей задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, линейного с постоянными коэффициентами:
а0У«> + аіу»-і> +... + апу (t) = f(t), (8.40)
у (0) = / (0) =... = У »-D (0) = 0, (8.41)
где f{t) — заданная при t^O функция t. Положив, что f(t) = 0 при t<C0, мы в том случае, если fit) удовлетворяет условиям существования изображения, можем построить изображение F (р) функции f(t). Предположим, что функция у if), являющаяся решением задачи (8.40), (8.41), и все ее производные до и-го порядка удовлетворяют условиям существования изображения. Тогда, умножив обе части уравнения (8.40) на e~pt и проинтегрировав по t от 0 до со, в силу линейности изображения и начальных условий (8.40) получим
У(P) Ып + O1P""1 + ... + ап} =.F(р\
со
где через У(р) = ^ e'pty(t)dt обозначено изображение искомого реше-
0
ния задачи (8.40), (8.41). Обозначив Pn (р) = а0рп-\- ахрп^ + ... + а„, получим
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 115 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed