Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
*) Признак Коши сходимости несобственных интегралов см. вьШ. 2, стр. 364.
**) В литературе встречаются и другие символические обозначения, например: F (р) - f 0), F (р) -г I (t), F (р) Il / (t) и т. д.
216 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. 8
Как мы видели, наиболее важным классом функций комплексной переменной являются аналитические функции. Выясним, является ли функция F (р) аналитической.
Теорема 8.2. Изображение Лапласа (8.2) функции f(t) является аналитической функцией комплексной переменной р в области Re/?>a, где а —показатель степени роста функции f(t).
Доказательство. В силу теоремы 8.1 несобственный интеграл (8.2) сходится в области Яер^>а. Разобьем интервал интегрирования на отрезки [tb г^П произвольной конечной длины, причем r0 = 0, tn-+oo при л->со. Тогда функция F (р) при Rep > а представляет собой сумму сходящегося ряда
OO ^n+I со
F(P)=Y1 $ <?-«/(*)A= ? Un(P)- (8-9)
п= О гс —о
со
Заметим, что поскольку л-й остаток ряда (8.9) равен ] e'p,f(t) dt,
то согласно теореме 8.1 ряд (8.9) сходится равномерно в области Re р X0 > а. Каждая из функций
Un(P)= \ е-"f <f) dt
определена как интеграл, зависящий от параметра р, по отрезку конечной длины на комплексной плоскости t. На основании общих свойств интегралов от функций двух комплексных переменных, зависящих от параметра *), функции ип (р) являются целыми функциями р. Из проведенных рассуждений следует, что ряд (8.9) в области Re/?>a удовлетворяет всем условиям теоремы Вейерштрасса **), а значит, функция F (р) является аналитической в области Re р > а и ее производные можно вычислять, дифференцируя4 подынтегральную функцию в (8.2) по параметру р.
2. Изображение элементарных функций. Пользуясь определением (8.2), найдем изображение ряда элементарных функций действительной переменной.
а) E д и н и ч и а я функция X е в и с а й д а. Пусть
С 0, t < О,
/(O = Cr0(O=I ! ^a (8.10)
Тогда
со
f(t)==F(p)=\ e-"dt = \, Ь р
*) См. гл. 1 стр. 52. **) См. гл. 2 стр. 62.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
217
причем функция F (р), очевидно, определена в области Re/?>-0. Итак,
{ 0, t<0 і
Отметим, что если вместо преобразования Лапласа (8.2) пользоваться преобразованием Хевисайда (8.8), то^ изображением единичной функции o0(t) будет функция F(p)=i. Этим объясняется достаточно широкое применение -преобразования Хевисайда. Однако в случае преобразования Хевисайда (8.8) усложняется ряд других формул, в частности формула обратного преобразования, формула изображения свертки (см. ниже стр. 223).
Условимся всюду в дальнейшем, если это не оговорено особо, под функцией f(t) понимать произведение f(t)-aa(t), т. е. функцию, тождественно равную нулю при t < 0, не отмечая это специально в соответствующих формулах.
б) Показательная функция
f(t) = eai. (8.12)
Вычисляя интеграл (8.2), получаем:
CC
'(P)= Jj
e~pteat dt = —і— , Re р > Re а;
P — а'
о
eai==-~^, Rej»>Rea. (8.13)
в) Степенная функция
f(t) = f, v>—1. (8.14)
В этом случае интеграл (8.2) имеет вид
со со
F(p)=\ e-ptf(t)dt = \ e-ptV dt, Re p > 0. (8.15)
о о
Заметим, что при v < 0 функция (8.14) уже не удовлетворяет условию 2 стр. 212 (точка t = 0 является точкой разрыва второго рода этой функции) и тем самым не принадлежит основному рассматриваемому классу функции действительной переменной, для которых существует изображение Лапласа. Однако, как легко видеть, при v > >—1 эта функция принадлежит расширенному классу, введенному на стр. 214 (интеграл (8.15) сходится при Re/>>0 и v> —I). Поэтому и в случае —1 < v < 0 изображение Лапласа функции (8.14) в области Re/?>0 существует и определяется формулой (8.15).
.Перейдем к вычислению интеграла (8.15). Начнем со случая, когда переменная р принимает действительное значение p = x~>Q. Сделав
218
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. 8
в интеграле (8.15) замену переменной интегрирования xt = s, получим
со со
о о
где Г (V + 1) — гамма-функция *) Эйлера. Так как функция F (р), определенная формулой (8.15), является аналитической в области rep>0, имеющей на положительной части действительной оси дг>0 значение (8.16), то в силу единственности аналитического продолжения для функции F (р) в области re р > 0 получим выражение
со
F(p)= ^e-If (it = 1^r1. (8.17)
о
При этом в случае дробных v следует выбирать ту ветвь многозначной функции , которая является непосредственным аналитическим
продолжением в. область re/? > 0 действительной функции -^=j действительной переменной X > 0. Итак,
tv =± ?? + 11, v>-l, rep>0. (8.18)
Для целых v=n из формулы (8.18) получим
tn^VJ^ = jk, Re/>>0. (8.19)
Вычисляя интеграл (8.2), можно получить изображение еще ряда функций действительной переменной, однако во многих случаях для вычисления изображения заданной функции удобнее, оказывается, пользоваться общими свойствами изображения Лапласа, к рассмотрению которых мы и перейдем. 3. Свойства изображения.
а) Линейность изображения. В силу известных свойств определенных интегралов, имеет место
