Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
G1 Z=O я
Рис. 7.3. Рис. 7.4.
В качестве примера найдем поле конденсатора, изображенного на рис. 7.4, если значения потенциала на кривых C1 и C2 соответственно равны 0 и 1. Предварительно найдем функцию z = cp(?), осуществляющую конформное отображение верхней полуплоскости ?, Im ? > 0, на данную криволинейную полосу S плоскости z. Так как область S представляет собой треугольник *) A1A2A3, то искомое отображение можно получить при помощи интеграла Шварца — Кристоффеля (см. гл. 5, § 4). Установим следующее соответствие точек действительной оси плоскости ? и вершин треугольника:
A2-^t = со,
Так как углы при вершинах треугольника соответственно равны JIa1 = 0, па2 = —ла и ла3 = л (1 + а), то искомый интеграл должен иметь вид
z = C J ?-1(1 -K)^J-C1. (7.98)
*) Заметим, что вершины A1 и Л2 находятся в бесконечности.
210
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
[ГЛ. 7
Из соответствия точек A3 (г = in) и ? =—1 следует, что при Zo = =—1 получим
J
(1+0°-rf? + ZA. (7.99)
I
1
Чтобы определить постоянную С, заметим, что обходу точки ? = 0 в верхней полуплоскости по дуге полуокружности бесконечно малого радиуса р в направлении против часовой стрелки соответствует переход со стороны A2A1 на сторону A1A3. При этом приращение z равно
Az = Ui.
С другой стороны, из (7.99), положив ? = pei(f и перейдя к пределу при р-»-0, получим
я
Az = 1С Hm [ (1 -j- pe''*)0 ufcp = шС. p-o0j
А
Отсюда С = — , и окончательное выражение для интеграла (7.99) имеет вид
1 (1+0°
d? + /A.
— і
Функция ? = еЯш- осуществляет конформное отображение полосы 0 < Im к>< 1 плоскости те1 на верхнюю полуплоскость ?. Поэтому функция
„яда
(1+Da
я .1
+ Й (7.100)
— і b
осуществляет конформное отображение полосы 0<1та» < 1 плоскости w на данную криволинейную полосу S плоскости z. При этом прямая Im w = 0 переходит в нижнюю обкладку конденсатора A1A2, а прямая Іши= 1—в верхнюю обкладку, представляющую собой ломаную A2A3A1. Из формулы (7.100) при tj = Im w = const получим параметрические уравнения потенциальных кривых данного электростатического поля. Например, в частном случае при a = 1 интеграл (7.100) вычисляется в элементарных функциях:
г = ~(1 +nw + e*™).
Тогда параметрические уравнения эквипотенциальной кривой v = V0 = = const (0=?-? sgl) принимают вид
А
X = —(I + Л11 + COS JlV0 ¦ ел"),
h —со ¦< и < со,
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ
211
В частности, уравнение средней эквипотенциальной линии \v0 имеет вид
-1
2 ^ я
У=Т+ -eh
Эквипотенциальные линии, соответствующие различным значениям v,
приведены на рис.
-Vmax ПО формуле
А
7.5. При V0 > — легко определяется значение
^max — ~ "I
1
V„>-
и=/
4-і
/
/
cos лу0 ;
Полученные результаты легко позволяют определить то расстояние от края конденсатора, изображенного на рис. 7.5, на котором поле д конденсатора с заданной степенью точности можно считать плоским.
Вообще, методы конформных отображений широко используются при расчете плоских электростатических и магнитостатических линз, применяемых для фокусировки' электронных пучков, что необходимо для работы многих физических устройств.
I
'о~~г I I I I
v=0
2—0 ZCmax Рис. 7.5.
X
ГЛАВА 8
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Методы операционного исчисления представляют собой своеобразный способ решения различных математических задач, в первую очередь дифференциальных уравнений, получивший довольно широкое распространение. В основе этих методов лежит идея интегральных преобразований, связанная с сопоставлением решению исходной задачи, функции f(t) действительной переменной, некоторой функции F(р) комплексной переменной так, что обыкновенное дифференциальное уравнение для функции f(t) переходит в алгебраическое уравнение для F (р). Аналогично уравнению в частных производных для функции двух действительных переменных может быть сопоставлено обыкновенное дифференциальное уравнение и т. д. Это позволяет облегчить технику вычислений. Основную роль в операционном исчислении играет преобразование Лапласа, с изучения свойств которого мы и начнем изложение.
§ 1. Основные свойства преобразования Лапласа
1. Определение преобразования Лапласа. Преобразование Лапласа ставит в соответствие функции f(t) действительной переменной t функцию F(p) комплексной переменной р с помощью соотношения
со
F(P) = ] e-Ptf(t) dt. о
Естественно, что не для всякой функции f(t) этот интеграл имеет смысл. Поэтому мы начнем с определения класса функций f(t), для которых данное преобразование заведомо реализуемо. Будем рассматривать функции f(t), определенные для всех значений действительной переменной —оо < t < со и удовлетворяющие следующим условиям:
1. При ^<0 /(0 = 0.
2. При г^О функция /(О на любом конечном участке оси t имеет не более чем конечное число точек разрыва первого рода.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
213
3. При t-+oo функция f(t) имеет ограниченную степень роста, т. е. для каждой функции рассматриваемого класса существуют такие положительные постоянные M и а, что для всех t > О
\fif)\^Meat. (8.1)
