Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Свешников А.Г. -> "Теория функций комплексной переменной" -> 84

Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.

Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной — М.: Наука, 2004. — 321 c.
Скачать (прямая ссылка): teorfunckomplekperemen2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 78 79 80 81 82 83 < 84 > 85 86 87 88 89 90 .. 115 >> Следующая

§ 1] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 225
(8.52)
р2 + со2'
со
1 ... і* со , я ,р
7 sm ш' - 3 рЧ^Ї dp = ? - arctg _.
р
С помощью свойства 5 из выражения (8.52) получаем
t
si t = j ^ Л ,.1 A J J _ arctg р ) . (8.5.3)
о
Функция si t носит название интегрального синуса.
и) Последнее свойство изображений, которое будет рассмотрено в данном параграфе, носит название теоремы смещения.
Свойство 9. Если f(t)=+F(p), Rep>a, то для любого комплексного числа X
F(p-{-X)= е'п f(t), Re р > а - Re X. (8.54)
Действительно, функция ср (t) = е~^'f(t), очевидно, удовлетворяет условиям существования изображения, которое по формуле (8.2) определено в области Rep > a —ReX, но
со со
$ е~Р( <rw / (Q dt = $ e-U»»1 f(t) dt = F(p + X),
о о
что и доказывает теорему смещения.
Формула (8.54) может быть применена для определения изображения произведения функции е~'* на функцию f (t), для которой изображение известно. Так, с помощью этой формулы и уже полученных изображений можно найти
*еЫф(р-^с?' Re р > Rea- (8-55)
tnea'= -,—^ттггт, Rep>Rea, (8.56)
• (р —a)"1' '
е-**' sin lot = у , "5 і—Rep> Jim Ui] —Rea. (8.57)
• (p -f- a)2 + ш2' f і
и т. д.
производную функции 1(р), дифференцируя интеграл (8.51) по параметру:
со
7» = -] e-ptf(t)dt= -F(p). о
Отсюда, учитывая условие /(со) = 0, получаем
р со
/ (р) = /(со) - \F (q) dq = \ F (q) dq,
со P
что и доказывает свойство 8.
В качестве примера найдем изображение функции sin cot. Так как sin at = o)
226 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. 8
(О, T>t,
4) /(-)(0#p-{f(,)-M-...-^};
5) J Дт) dt = 1/7 (/0;
8) ^(/?)й> = , ,
о
6) J Л (т) Л (* - г) йд = 5 Л (t - т) /2 (т) dx = F1 (р) F2 (р);
б о
7) /^00 = (—і)" *"/('); /(0
9) F(P + X) = e->'f(t). 5. Таблица изображений.
1) 1=1, Rer;>0;
2) v>-l, Re/7>0;
3) ^'^-?i, «-целое, Re/>>0;
4) ^ = _L_ Re/? > Re а;
5) sino^#-—5, Re/7>|Imco[;
6) cos cor ^Cji^. Re/7>jImco|;
7) ShMf!=^, Rep>\ReX\;
8) ChW = ^x«, Rep>|ReX|;
9) ^^^(pj1^!. Re/->Rea;
В заключение данного параграфа приведем таблицу рассмотренных свойств изображений и таблицу изображений ряда элементарных и специальных функций, наиболее часто используемых в приложениях.
4. Таблица свойств изображений. Пусть f(t)^F(p). Тогда
п Il
!) 1] а.7« (0 # 2] (Р), Щ = const;
i=i i=i
2)/(«0 = ^ F (-?-), a=,const, а>0;
§ 2]
10) t sin со/ = H) t cos (at
12) en sin со/
13) elt COS Cu/ =
1-І)
15)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ
227
sin (ut
p1 — ft)2 (P2+OJ2)2'
(P-Zv)2+ CO2'
(р-Я)2 + ш2' я 2"
Re /7 >- j Im со '; Rep2> J Im со I; Re/? > (Re і Im cd'); Re/? > (ReX + Imco !);
arctg —, Re/? ^> ) Im со J;
1,
2/?t==c/<(2a + 1)t
рт
16) I sin cor4
17) e-«2<2 =
18) *
—1, (2k + I)T «=:/< (2k + 2) xj % " p //? 2 ? = 0, 1, 2,
f^cth?- Re/7>jlmcui;
Re/?>0,
I A- V-
.LieuT'; l _ф'=Л.
1
У'я/ ' ]/ p + a
0— 2а Yt
. 1
= —Є" і
19)
V' л/ V р 20) J0(O/) =
\ WpU
У'о? + р2'
21) у0(2j^)--Le-};
> P2+ 1
23) si^=-L (-J-— arctg р);
24) Ф (Vat) =
25) 1-Ф(
P J Р + а
\ 2 V t ) p
При действительных значениях параметров, входящих в функции /(О в формулах 17)-25), изображения соответствующих функций заведомо определены в области Re р> 0.
§ 2. Определение оригинала по изображению
В этом параграфе мы рассмотрим методы определеггия оригинала по заданному изображению, а также приведем некоторые достаточные условия, при которых заданная функция F (р) комплексной пере-
2рсо
228
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. 8
менной р является изображением функции f(t) действительной переменной t.
Во-первых, отметим, что имеются различные таблицы изображений наиболее часто встречающихся в приложениях функций, так что при решении конкретных задач часто удается найти в соответствующем справочнике *) выражение оригинала для полученного изображения.
Во-вторых, приведенные в предыдущем параграфе свойства изображений 1)— 9) во многих случаях позволяют решить и обратную задачу построения оригинала по заданному изображению. В первую очередь это относится к теореме смещения, интегрированию п дифференцированию изображения и изображению свертки функций. Ряд примеров был уже рассмотрен в § 1, некоторые примеры будут приведены в дальнейшем.
Однако все эти методы, по существу, являются методами подбора. Основной целью данного параграфа является изложение общего метода построения оригинала по изображению.
1. Формула Меллина. Начнем с того случая, когда по условиям задачи известно, что заданная функция F (р) комплексной переменной р является изображением кусочно-гладкой функции f(t) с органиченной степенью роста ' f(t), < Meat, причем значение постоянной а задано. Требуется по заданной функции F (р) построить искомую функцию f(t). Эта задача решается с помощью следующей теоремы.
Теорема 8.3. Пусть известно, что заданная функция F (р) в области Re р^> а является изображением кусочно-гладкой функции f(t) действительной переменной t, обладающей степенью роста а.
Предыдущая << 1 .. 78 79 80 81 82 83 < 84 > 85 86 87 88 89 90 .. 115 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed