Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Воспользуемся следующими вспомогательными утверждениями элементарной геометрии. Утверждение 1. Любая окружность С", проходящая через точки P и P', ортогональна окружности С.
Действительно, проведя луч OP' и радиус OA в точку пересечения окружностей С и С (рис. 6.8), мы в силу симметрии точек P и P' относительно окружности С получим
OP ¦ OP' = (OAf = R2.
Но это, согласно известной теореме элементарной геометрии *), означает, что OA является касательной к окружности С, проведенной из точки О, откуда и следует, что С _J_ С.
Утверждение 2. Две взаимно пересекающиеся окружности С" и С", ортогональные одной и той же окружности С, пересекаются в точках P и P', симметричных относительно окружности С.
Проведем через точку P пересечения окружностей С' и С", лежащую внутри окружности С, луч OP. Предположим, что луч OP пересекает окружности С и С" в различных точках, соответственно Р* и P** (рис. 6.9). Так как окружности С и С" ортогональны окружности С, то по указанной выше теореме элементарной геометрии имеют место соотношения
OP ¦OP*= R2, (6.39)
OP-OP*" = R2. (6.40)
Но, так как точки Р* и P** лежат на одном луче, равенства (6.39) и (6.40) возможны только в том случае, когда точки Р* и P** совпадают, Р* = P** = P', что и доказывает утверждение.
*) Произведение отрезков секущей, проведенной из внешней точки окружности, равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки.
ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
169
Перейдем теперь к доказательству теоремы. Пусть точки P и P симметричны относительно окружности С. Проведем через эти точки две вспомогательные окружности С и С". В силу утверждения 1 окружности С" и С" ортогональны С. При конформном отображении, осуществляемом какой-либо дробно-линейной функцией, окружности С, С и С" перейдут соответственно в окружности К, К' и К", причем окружности A" и К" будут ортогональны окружности К. Точки P и P' пересечения окружностей С и С" перейдут в точки QhQ' пересечения их образов — окружностей A" и К"- Но в силу утверждения 2 точки QhQ' должны быть симметричны относительно окружности К, что и доказывает теорему.
Очевидно, доказанная тео-. рема остается справедливой и в том случае, когда рассматриваются и окружности бесконечно большого радиуса, т. е. прямые.
Доказанная теорема находит многочисленные применения при решении конкретных задач кон- Рис. 6.9.
формных отображений, и мы
будем в дальнейшем неоднократно к ней прибегать. Здесь же ограничимся лишь двумя примерами.
Пример 2. Найти функцию, конформно отображающую единичный круг j z j <С 1 сам на себя так, чтобы заданная внутренняя точка Z0 перешла в центр круга.
Очевидно, для решения задачи можно воспользоваться дробно-линейной функцией. При этом точка Z0 и точка Z1, симметричная ей относительно окружности I z | = 1, перейдут в точки, симметричные относительно окружности \w\ = \. Но поскольку точка, симметричная центру окружности, есть бесконечно удаленная точка, а точка Zn должна перейти в точку w = 0, то точка Z1 должна перейти в точку w = со. Следовательно, искомая дробно-линейная функция имеет вид
W = X2—^. (6.41)
Z -Zj^
Так как Z1=}-, то (6.41) можно переписать в виде
W = Xz0 г~г<> . (6.42)
ZZ0 - і
Для того чтобы при отображении (6.42) окружность j z | = 1 перешла также в окружность | w | = 1 единичного радиуса, должно выполняться условие
170
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
[ГЛ. 6
Отсюда Xz0 = е'а, где а — произвольное действительное число, и решение нашей задачи получаем в виде
w -
ZZ0-I '
(6.43)
Заметим, что мы получили решение, определенное с точностью до одного произвольного параметра а, который, очевидно, определяет поворот окружности Iw I= 1 вокруг центра. Задание значения аргумента производной функции w в точке Z = Z0 полностью определяет функцию W.
Пример 3. Найти функцию, конформно отображающую эксцентрическое кольцо на концентрическое.
Пусть требуется построить конформное отображение области, ограниченной двумя окружностями с несовпадающими центрами (рис.
6.10), на какое-либо концентрическое кольцо. Поскольку мы имеем дело с двухсвязными областями, то теорема Римана о существовании конформного отображения здесь уже не имеет места и, как мы увидим, нельзя произвольно задать отношение радиусов окружностей концентрического кольца, на которое требуется конформно отобразить заданное эксцентрическое кольцо. Для удобства дальнейших рассмотрений положим, что центр большей окружности С находится в точке z = 0, ее радиус равен R, а центр меньшей окружности С, радиуса г, лежит в точке Z = а на действительной оси. Найдем точки P1 и P2, которые являются симметричными одновременно относительно обеих окружностей С и С. Очевидно, эти точки лежат на действительной оси (рис. 6.10). Тогда их абсциссы X1 и X2 должны удовлетворять соотношениям
(xL — а) (х2 — а) = г2, X1-X2 = R*.
Из (6.44) и (6.45) следует, что X1 и X2 являются корнями квадратного уравнения
У
R
/ Z=O / fz=a
V fr Zi х
ГP1 (Z=X1)
Рис. 6.10.
(6.44) (6.45)
ах2 - (R2 -г2 + а2) х + aR2 = 0.
(6.46)
