Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
и(г, ф)= у (г+у) COS ф, V (Г, ф) = "2'(г
Положив г = г0 и исключив параметр ф, получим
»«2 7,2
--__I---__ — 1
1 / , 1 \2 ^ 1 / 1 ,2
sin ф. (6.57) (6.58)
174
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
[ГЛ. 6
Из соотношения (6.58) следует, что функция (6.53) отображает концентрические окружности I z j — г0 в эллипсы. Как легко видеть, фокусы всех эллипсов (6.58) лежат в одних и тех же точках действительной оси и:
с = ±\. (6.59)
Тем самым функция (6.53) производит отображение семейства концентрических окружностей j z I = г0 плоскости z на семейство софо-кусных эллипсов плоскости w. При этом, если г у < 1, т0 положительному направлению обхода окружности | z | = гх соответствует
отрицательное направление обхода эллипса (6.58); если г2=~->1,
то положительному направлению обхода окружности J z | = г2 соответствует положительное направление обхода эллипса (6.58). При T1-^l эллипс (6.58) вырождается в отрезок f—1, IJ действительной оси и, проходимый дважды. При T1 —>- 0 эллипс (6.58) переходит в окружность бесконечно большого радиуса. Тем самым функция (6.58) производит конформное отображение области внутри единичного круга I z I < 1 на плоскости z на плоскость w, разрезанную по отрезку I — 1, 1] действительной оси. Граница области — окружность I z j = 1 — отображается па этот отрезок, причем верхняя полуокружность отображается на нижний, а нижняя — на верхний берег разреза. Аналогично область | z \ > 1 вне единичного круга па плоскости z отображается на второй экземпляр плоскости w, разрезанной по отрезку [—1, 1] действительной оси, причем верхняя полуокружность I z | = 1, lmz>0, отображается па верхний берег, а нижняя полуокружность I z 1=1, lmz<0, — на нижний берег разреза. Тем самым функция Жуковского (6.53) осуществляет конформное отображение полной плоскости z на риманову поверхность обратной функции
z = (p{w) = w + Vw2— 1. (6.60)
Риманова поверхность функции (6.60) представляет собой двулистную поверхность, составленную из двух экземпляров плоскости w, разрезанной вдоль отрезка [—1, 1] действительной оси. Нижний берег разреза одного листа склеен с верхним берегом разреза другого листа, и наоборот. Функция (6.60) является однозначной аналитической функцией на своей римановой поверхности, имеющей две точки разветвления w = ±l, при обходе каждой из которых происходит переход с одного листа этой римановой поверхности на ее другой лист. Заметим, что при одновременном обходе обеих точек разветвления w = ±\ по замкнутой кривой, не пересекающей отрезка [— 1, Ij, мы все время находимся на одном и том же листе.
Итак, функции (6.53) и (6.60) устанавливают взаимно однозначное соответствие между полной плоскостью z и данной римановой поверхностью. Отображение, осуществляемое этими функциями, является
ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
175
всюду конформным, за исключением точек z = ±l, в которых производная функции (6.53) равна нулю. Заметим, что этим точкам соответствуют точки w = ±l, являющиеся точками разветвления функции (6.60), обратной по отношению к функции (6.53).
В заключение найдем образ лучей arg z = ср„ при отображении, осуществляемом функцией Жуковского. Для этого исключим из соотношений (6.57) параметр г и положим ср = ср0. Тогда
COS2 ф0 Sin2 фо \ • >
Соотношение (6.61) означает, что при отображении (6.53) отрезки лучей arg Z = Cp0 переходят в ветви гиперболы (6.61). Отметим, что при любом значении ср0 фокусы этой гиперболы находятся в точках ± 1. Тем самым функция Жуковского осуществляет преобразование ортогональной системы полярных координат на плоскости z в ортогональную криволинейную систему координат, координатными линиями которой являются софокусные семейства эллипсов (6.58) и гипербол (6.61).
Как уже отмечалось, функция Жуковского находит весьма широкое применение при решении многих конкретных задач конформных отображений, особенно связанных с исследованием гидродинамических проблем. На этих вопросах мы остановимся несколько позже, а сейчас рассмотрим еще одну функцию, находящую многочисленные приложения.
§ 4. Интеграл Шварца — Кристоффеля. Отображение многоугольников
Пусть на комплексной плоскости w задан я-уголышк с вершинами в точках A1, A-I, ..., An и внутренними углами при этих вер-
п
шинах (X1Jt, GC2JT, OinTi соответственно. (Очевидно, 2] аг = л — 2,
1 = 1
п > 2.) Пусть требуется построить конформное отображение верхней полуплоскости z на внутренность такого многоугольника. Эта задача решается с помощью так называемого интеграла Шварца — Кристоффеля, изучение некоторых свойств которого и составляет содержание настоящего параграфа.
Рассмотрим функцию комплексной переменной z, определенную в верхней полуплоскости z с помощью выражения
2
w = /(Z) = С\&- Ci1)^ - і ... (I - ап)ап -1ClI + C1. (6.62)
Здесь Z0, С, C1 — заданные комплексные постоянные; ^1, ап — действительные числа, расположенные в порядке возрастания; аь ...
176
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
[гл. 6
..., CLn — положительные постоянные, удовлетворяющие условиям
п
2] Oi1 = п- 2, (6.63)
