Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
1 = 1
О < а,- < 2. (6.64)
В подынтегральном выражении выбраны те ветви функций (? — at)ai~\ которые являются непосредственным аналитическим продолжением в верхнюю полуплоскость действительных функций (х— at)ai~1 действительной переменной X > at. В таком случае функция (6.62) является однозначной аналитической функцией в верхней полуплоскости Im z > 0. Точки аь лежащие на действительной оси, являются особыми точками этой функции. Функция (6.62) и называется интегралом Шварца — Кристоффеля. Функция (6.62) при соответствующем выборе точек йі осуществляет конформное отображение верхней полуплоскости Im z > 0 на область внутри некоторого и-угольника на плоскости w. Будем вначале считать, что все числа а,- ограничены. Покажем, что при этом функция (6.62) остается ограниченной всюду при Im z 0. В силу условия (6.64) интеграл (6.62) остается ограниченным в окрестности особых точек at. Убедимся, что интеграл (6.62) остается ограниченным и при z —>¦ со. Преобразуем подынтегральную функцию, использовав условие (6.63):
Ф(0 = ^+-+«.-(і -ff1'1..Ji -ff-'1 =
^ =i(l-??-\.Al-?aa"-1. (6.65)
Из полученного выражения и следует сходимость интеграла при z —> со. Таким образом, интеграл (6.62), являющийся однозначной аналитической функцией z в верхней полуплоскости Im z >0, осуществляет отображение этой полуплоскости на некоторую ограниченную область Э плоскости w.
Посмотрим, в какую кривую при этом переходит действительная ось плоскости z. Рассмотрим выражение производной функции (6.62):
/'(Z) = C(Z-U1Y1-1 ...(г -ап)ап~К (6.66)
Из этого выражения следует, что производная функции /(z) отлична от нуля всюду в верхней полуплоскости Im z 0, за исключением особых точек ah в которых она обращается в нуль или бесконечность. При изменении z на каждом из интервалов as<x<aH1 (k = 1, ...,«— 1) действительной оси аргумент производной не меняется. Действительно, в силу указанного выше выбора ветвей функций (г —а,-)"'"' аргумент этих функций на данных интервалах действительной оси принимает значения
, ча—і (л(а,-1), х<аь arg (Jf-а,-) « ={ (6.07)
10, л >¦ аь
ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
177
что и доказывает высказанное утверждение. В силу геометрического смысла аргумента производной *) это означает, что отрезки действительной оси ак<.х<Сак + 1 функцией f(z) отображаются также на прямолинейные отрезки плоскости w. При этом точки ак действительной оси функцией (6.62) переводятся в точки Ак плоскости W — концы соответствующих прямолинейных отрезков АкАк+1, на которые функция (6.62) отображает отрезки действительной оси [ак, ак+1]. Тем самым функция (6.62), непрерывная и однозначная на действительной оси, производит отображение действительной оси плоскости z на некоторую замкнутую ломаную A1A2... An, звеньями которой являются прямолинейные отрезки AkAk+1 (рис. 6.13).
Рис. 6.13.
При этом, когда точка z проходит всю действительную ось в положительном направлении, соответствующая ей точка w совершает полный обход замкнутой ломаной A1A2... An. Заметим, что, вообще говоря, ломаная A1A2... An может иметь точки самопересечения (рис. 6.13, б).
Определим теперь величину углов между соседними отрезками полученной ломаной. Для этого рассмотрим, как меняется аргумент производной (6.66) при переходе z через точку аь Из (6.67) следует, что при движении точки z по действительной оси в положительном направлении, при котором особая точка аг обходится но дуге бесконечно малого радиуса в верхней полуплоскости, аргумент производной изменяет свое значение на величину— я (а; — 1). В силу геометрического смысла аргумента производной это означает, что величина угла между направлениями векторов**) A1-^A1 и A1Ai+1 равна
*) Аргумент производной функции / (г) в точке Z0 определяет величину угла, на который нужно повернуть касательную к любой гладкой кривой у, проходящей через точку Zn, чтобы получить касательную к образу этой кривой В ТОЧКе Ui)0--{(Z0).
**) При этом под углом между направлениями пересекающихся прямых O1, bt мы понимаем величину угла наикратчайшего поворота, совмещающего прямую Ь, с прямой Ь%.
178
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
[ГЛ. 6
— я(аг—1). При этом при а,- <С 1 переход от направления вектора A^1A1 к направлению вектора A-Ai+1 происходит в положительном (рис. 6.14, а), а при а,- > 1 в отрицательном (рис. 6.14, б) направлении. Как легко видеть, в обоих случаях величина угла при переходе в положительном направлении от направления вектора A1Ai+1 к направлению вектора АІАІ-1 равна ла,- (рис. 6.14). Если замкнутая ломаная A1A2 ... An не имеет самопересечений, то она ограничивает некоторый я-угольник. Если, кроме того, движению точки z в положительном направлении действительной оси соответствует обход ломаной A1A2 ...An в положительном направлении, то внутренний угол
данного я-угольника при вершине Л,-, на которую отображается точка а і действительной оси плоскости z, равен ла,-. В силу условия (6.63) при этом сумма всех внутренних углов данного «-угольника равна (я —2) я, как и должно быть.
На основании принципа соответствия границ (теорема 6.4) можно утверждать, что если ломаная A1A2 ... An, на которую функция (6.62) отображает действительную ось плоскости z, не имеет точек самопересечения и сохраняется направление обхода, то функция (6.62) осуществляет конформное отображение верхней полуплоскости lmz>0 на внутренность я-угольника, ограниченного ломаной A1A2 ... An.
