Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Дискриминант этого уравнения (R2 — г2 -f- а2)2 — 4а2/^2 положителен, так как имеет место очевидное соотношение R — r^>a. Построим дробно-линейную функцию
Z-X1
W = X-
(6.47)
ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
171
где X1 и х-, — абсциссы точек P1 п P2, найденные из уравнения ((3.46). При отображении, осуществляемом функцией (6.47), окружности С и С' перейдут в некоторые окружности К и A" плоскости w, внешняя к окружностям С и С точка P2-в точку W = со. Симметричная относительно окружностей С и С" точке P2 точка P1 должна при этом перейти в точку, симметричную точке w = со относительно окружностей К и К'. Но точка, симметричная бесконечно удаленной точке, есть центр окружности. Следовательно, при отображении (6.47) точка P1 перейдет в общий центр окружностей К и К'- Тем самым искомое отображение построено. Заметим, что в выражении (6.47) у нас остался произвол в определении параметра X, однако изменение последнего приводит лишь к подобному растяжению плоскости w, что не может изменить отношения радиусов окружностей полученного концентрического кольца.
Рис. 6.11. Рис 6.12.
В заключение данного параграфа рассмотрим вопрос о применении дробно-линейной функции для построения конформного отображения двуугольников. Двуугольником называется плоская фигура, образованная пересечением дуг двух окружностей, вообще говоря, разных радиусов (рис. 6.11). Очевидно, углы при вершинах двуугольника равны друг другу. Пусть дан двуугольник с вершинами в точках A (Z1) и В (Z2) и углом а при вершине и требуется построить конформное отображение внутренней области данного двуугольника на верхнюю полуплоскость Im w > 0. Рассмотрим вспомогательную функцию
? = ^ (S = 5 + /11). (6-48)
Дробно-линейная функция (6.48) производит конформное отображение полной плоскости z на полную плоскость ?, при котором точка z = Z1 переходит в точку ? = 0, а точка z = Z2 — в точку ? = со. В силу кругового свойства дробно-линейной функции при отображении (6.48) окружности, образующие двуугольник, переходят также в окружности.
172
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
[ГЛ. 6
Но окружность, проходящая через точки ? = 0 и ^ = со, имеет бесконечно большой радиус. Это означает, что при отображении (6.48) стороны двуугольника перейдут в лучи (/ и II), выходящие из точки ? = 0, причем угол между этими лучами равен уг.гу а при вершине двуугольника (рис. 6.12). Итак, функция (6.48) осуществляет конформное отображение данного двуугольника на плоскости z на сектор с центральным углом а на плоскости ?, причем луч / составляет с положительным 'направлением оси | угол а0, значение которого определяется положением вершин А и В двуугольника. Как мы видели выше (гл. 6, стр. 155), функция
я
и> = ?«"> (6.49)
являющаяся непосредственным аналитическим продолжением действи-л
тельной функции Xа, х>0, осуществляет конформное отображение области внутри сектора а0 < arg ? < а0 + а 1,3 полуплоскость я<
< arg w < ^-я -(- я. Остается перевести полученную полуплоскость в полуплоскость Im w > 0, для чего достаточно произвести поворот всей плоскости как целое на угол — я, что может быть осуществлено путем умножения функции (6.49) на комплексное число _. а<>
е а л. Итак, окончательно, искомая функция, осуществляющая конформное отображение двуугольника AB на верхнюю полуплоскость Im w > 0, принимает вид
w = е~1 а Я [2' ••— . (6.50)
Отметим, что конформность отображения нарушается в точках Z1 и Z2.
Пример 4. Построить конформное отображение верхней половины круга |z]<l, Im2'>0, на верхнюю полуплоскость Im^>0.
Очевидно, данная область представляет собой двуугольник с вер-
шинами в точках Z1=^l и Z2= \ п углом a= ^ ПРИ вершине. Вспомогательная функция
осуществляет конформное отображение этого двуугольника на первый квадрант плоскости ?, а функция
(6-52)
и дает искомое отображение.
ФУНКЦИЯ ЖУКОВСКОГО
173
§ 3. Функция Жуковского
Так называется функция комплексной переменной
ге=№=12-(г+1;). (6.53)
Эта функция была широко использована Н. Е. Жуковским при решении многих задач гидро- и аэродинамики.
Функция (6.53), очевидно, является аналитической на всей комплексной плоскости, за исключением точки z = 0, представляющей собой полюс первого порядка данной функции. Вычисляя производную функции (6.53), получаем
/'U) • І ! - г!Л (6-54)
Отсюда следует, что производная функции Жуковского отлична от нуля во всех точках плоскости z, кроме точек ± 1. Тем самым отображение, осуществляемое этой функцией, является конформным в окрестности любой точки z, за исключением этих двух точек. Найдем области однолистности функции Жуковского. Предположим, что две различные точки комплексной плоскости Z1 ф Z2 переводятся функцией /(z) в одну и ту же точку плоскости W, т. е.
или
(6.55)
Так как Z1 Ф Z2, то из соотношения .(6-55) следует
Z1-Z2=I. (6.56)
Полученное соотношение означает, что областями однолистности функции Жуковского являются, в частности, области внутри (|z|<M) и вне (jzj>l) единичного круга. Обе эти области функцией (6.53) отображаются конформно на одну и ту же область плоскости w. Чтобы определить эту область, рассмотрим отображение окружностей ) z I = г0, осуществляемое функцией (6.53). Для этого перейдем к показательной форме записи комплексных чисел: z = rel<v — и найдем выражение действительной и мнимой частей функции (6.53):
