Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
U1 (Z = O)-+ A1 (W = 0),
а2 (z = со) -*A2(w = со).
Тогда согласно (6.69) отображающая функция принимает вид
w=f(z) = С ^01"1 dt + C1.
ОТОБРАЖЕНИЕ (МНОГОУГОЛЬНИКОВ
181
Положив Z0 = O и использовав (6.70), найдем, что постоянная C1 равна пулю. Отсюда
Z
ву = С ?«-!?^= ^-г" (6.71)
6
Функция (6.71) определена с точностью до постоянного множителя, определяющего преобразование подобия. Данный произвол связан с тем, что условия (6.70) содержат требование соответствия лишь двух граничных точек, а, как мы видели (см. замечание на стр. 163), функция, осуществляющая конформное отображение, однозначно определяется заданием соответствия трех граничных точек. Потребовав, например, чтобы наряду с (6.70) имело место дополнительное соответствие граничных точек
Z = 1 -> W = 1,
определим значение оставшейся в (6.71) произвольной постоянной C = а.
Итак, окончательно, функция
w = za (6.72)
осуществляет конформное отображение верхней полуплоскости Im z > 0 на заданный сектор плоскости w. При этом в силу указанного выше выбора ветвей в подынтегральной функции интеграла Шварца — Кристоффеля (6.62) должна быть взята та ветвь многозначной функции (6.72), которая является непосредственным аналитическим продолжением действительной функции Xа действительной положительной переменной X.
Пример 2. Найти функцию, конформно отображающую верхнюю полуплоскость Im z > 0 на прямоугольник A1A2A3Ai (рис. 6.15).
Пусть вершины прямоугольника на плоскости w расположены в точках A1(W = O), A2(w = а-\-ib), A3(W = — aA-ib), A41(W = — а). Положим, что с помощью некоторой функции Z1 (z) произведено конформное отображение первого квадранта плоскости z (Re z > 0, Imz>u) на правую половину OA1A2O' прямоугольника (рис. 6.15), при котором положительная часть мнимой оси плоскости z перешла в отрезок 00'. Тогда на основании принципа симметрии (см. стр. 159) функция, являющаяся аналитическим продолжением Z1(Z) в область (Re z < 0, Im z > 0), осуществляет конформное отображение данной области на левую часть исходного прямоугольника. При этом в вершины A1 и Л4 переходят соответственно симметричные точки действительной оси z. То же имеет место для вершин A2 и A3. Поэтому можем установить следующее соответствие точек:
ал (z = 1) -> A1 (w = а), аА(г = — I)-+ At(W = —а).
182
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
[ГЛ. 6
Кроме того, очевидно, должно иметь место соответствие
г = 0 w = 0.
(6.74)
Соотношения (6.73), (6.74) устанавливают соответствие трех граничных точек. Поэтому произвольно задать точку а2 на действительной оси z, переходящую в вершину A2 прямоугольника, уже нельзя. Положим, что в вершину A2 переходит точка а2 действительной
оси г, имеющая координату -^-, значение которой будет определено
в дальнейшем. Очевидно, 0</е<1.
w=a+ib
Но
ал
а.
Z=-l Z=-] z=o z=7 z=-?
Рис. 6.15.
Итак, функция, осуществляющая конформное отображение верхней полуплоскости на заданный прямоугольник, может быть представлена в виде
і
і
і
і
W= f (Z) = C J (?- 1)2 '(Є-I)"2' '(Є+ у) 2 4+ I)2 4 + г0
2
+ C1 = C jj
1/(1-^)(1-*?*)
- C1. (6.75)
Положив Zo = 0 и использовав соотношение (6.74), получим C1 = O. Тогда
W = C
dl
(6.76)
Остается определить постоянные С и А из соответствия точек O1 и а2 действительной оси z вершинам A1 и A2. Отметим, что интеграл (6.76) не выражается в элементарных функциях. Это так называемый эллиптический интеграл*) I рода, который обычно обозначается
7 {г, k) = J
dt.
{6.77)
*) См. вып. 1, стр. 236.
ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
183
Условия (6.73) дают
і
а = с[ d? ==. (6.78)
J K(I-Єа)(і—*8?а)
Интеграл, стоящий справа, так называемый полный эллиптический интеграл I рода
і
K(k)=\ , d? =, (6.79)
5> /0-Е2) (1-*?8)
является хорошо изученной и табулированной функцией. Соответствие точек а2 (^z = ~j <н> A2 (да = а-\- іb) позволяет записать
і1 ? 1
^ (JK(I-E2Xi-A2S8) J K(I-S2)(i-*42)J'
откуда, учтя (6.78), получим
\_ "І
Ь = С\ -== ^ =СР(-, k), (6.81)
J K(E2-1)(1-*?2) U I
где через F ^ , AJ обозначен интеграл в формуле (6.81). Из (6.78)
и (6.81) при заданных величинах а и Ъ можем, решив трансцендентное уравнение
*)¦
определить значения постоянных і и С. Тем самым функция (6.76), осуществляющая конформное отображение верхней полуплоскости Im z > 0 на заданный прямоугольник плоскости w, полностью определена. С другой стороны, если в формуле (6.76) заданы величины k и С, то эта функция осуществляет конформное отображение верхней полуплоскости Im z > 0 на прямоугольник плоскости да, отношение
сторон которого определяется формулой (6.82), а абсолютная
величина сторон — постоянной С. Произвольно изменяя значение этих постоянных, можно получить конформное отображение верхней полуплоскости Im z > 0 на любой прямоугольник плоскости w.
аР[~, A) = MC(A)1 (6.82)
ГЛАВА 7
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ К РЕШЕНИЮ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
Методы теории функций комплексной переменной весьма широко и эффективно применяются для решения большого числа математических задач, возникающих в различных областях естествознания. В частности, применение аналитических функций дает во многих случаях достаточно простые способы решения краевых задач для уравнения Лапласа, к которым приводятся различные задачи гидро- и аэродинамики, теории упругости, электростатики и т. д. Это определятся тесной связью, существующей между аналитическими функциями комплексной переменной и гармоническими функциями двух действительных переменных. В настоящей главе мы остановимся па некоторых общих вопросах применения аналитических функций к решению краевых задач для уравнения Лапласа и приведем ряд примеров решения физических и механических задач.
