Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
П р и м ер 2. Рассмотрим отображение, осуществляемое функцией w = е'. Из представления (3.38) следует, что эта функция каждому комплексному числу z = x-\-iy ставит в соответствие комплексное число W, модуль которого есть ех, а аргумент у. Это означает, что показательная функция w =ez производит отображение прямой у = =у0 плоскости z на луч arg w =У0 плоскости w. Как легко видеть,
92
аналитическое продолжение. элементарные функции [гл. 3
полоса плоскости z, ограниченная прямыми у = 0 и _у = 2л, перейдет в полную плоскость w, причем граничные прямые у = 0 и у = 2л будут отображаться па один и тот же луч плоскости w — положительную часть действительной оси и (рис. 3.2). При этом устанавливается взаимно однозначное отображение открытой области 0<з'<[2я на плоскость w с выброшенной положительной частью действительной оси и. Чтобы установить взаимно однозначное отображение соответствующих замкнутых областей, будем считать, что произведен разрез но положительной части действительной оси и и установлено взаимно
однозначное соответствие между верхним берегом разреза и прямой _у = 0, а также между нижним берегом разреза и прямой у= -2л плоскости z. Итак, показательная функция ег производит взаимно однозначное отображение полоси 0-<:.у^2л плоскости z на полную плоскость w, разрезанную по положительной части действительной оси *). Аналогичным образом устанавливается, что показательная функция производит взаимно однозначное отображение любой полосы 2л • п ^y 2л (п+ 1) (п = 0, ±1,...) плоскости z на ту же полную плоскость w с разрезом вдоль положительной части действительной оси и. При этом точки z0 = x0 + 0'0 И Z1 = Xn -f- і (_у0 + 2л/е) (? = ±1, ±2,...) переходят в одну и туже точку плоскости w. Это означает, что показательная функция является бесконечнолистной периодической функцией комплексной переменной z с мнимым периодом 2л/. Областью ее однолистности является любая полоса _У0<С <_)'<_y0-f-2л, отображающаяся на полную плоскость w с разрезом, по лучу arga»=_y0. Заметим, что аргумент w на плоскостях, соответствующих различным полосам 2л • п ^y =С 2л (я-|- 1) (я = 0, ±1, ...) изменяется соответственно в различных пределах. Тем самым мы получаем бесконечный набор различных экземпляров плоскости w, раз-
U
у~4п
V
у=-Zn
Рис. 3.2.
*) При этом граница полосы у = 0 переходит в верхний, а граница у — 2л— в нижний берег разреіа плоскости w.
элементарные функции комплексной переменной
93
резанной но положительной части действительной оси и. Чтобы непрерывному движению точки г на плоскости z, при котором она переходит из одной полосы в другую, отвечало непрерывное движение w, соответствующие экземпляры (листы) плоскости W должны быть соединены между собой, причем, очевидно, верхний берег разреза л-го листа должен быть соединен с нижним берегом разреза (я — 1)-го листа и нижний берег разреза я-го листа—соединен с верхним берегом разреза (я4-1)-го листа. Полученное геометрическое многообразие образует бесконечнолистную риманову поверхность.
Аналогичные рассмотрения могут быть проведены и для тригонометрических функций комплексной переменной. Сразу заметим, что в силу формул (3.34), (3.35) тригонометрические функции являются бесконечно лис тны ми функциями комплексной переменной Z, периодическими с действительным периодом 2л. Так же, как и в случае функции ег, нетрудно рассмотреть геометрические свойства отображений, осуществляемых тригонометрическими функциями. Мы ограничимся лишь функцией cosz. С помощью установленных выше свойств тригонометрических функций получаем
cosz = COs (х + /_у) = и (х, у) -\-lv (х,у) — cosx-ch_y — isinx-sh_y. Отсюда следует, что прямую х = x0 плоскости z функция COS z
отображает в ветвь гиперболы
;/2
cos2 X0 sin2 X0
Vі
1 (3.49)
на плоскости та». При 0<[х(, <-у прямая х = х0 переходит в правую
вегвь гиперболы, а прямая x = ji-x0-h ее левую ветвь. Как легко установить, все гиперболы (3.49) являются софокусными, причем их
фокусы лежат в точках ±1 действительной оси и. Прямая X0 = ~
функцией cos z отображается на мнимую ось v плоскости w, а прямые x0 = O и x0 = л — в лучи [1,со] и [ — со, — 1] действительной оси н плоскости w, причем при движении точки z по данной прямой (например, по прямой x0 = O) соответствующий луч проходится дважды. Тем самым функция cos z осуществляет взаимно однозначное отображение полосы 0==схй^я плоскости z на полную плоскость w, разрезанную по лучам действительной оси [ 1,со | и I—со, — 1]. При этом верхняя полуполоса 0«сх-:~я, _у>0 переходит в нижнюю полуплоскость и<0, а нижняя полуполоса 0-S^x^ л, _у<С0 — в верхнюю полуплоскость V > 0, что отмечено соответствующей штриховкой на рис. 3.3. Как легко видеть, следующая полоса я-йСх^2л функцией cosz отображается на ту же полную плоскость tv с разрезами по лучам действительной оси [1,со] и | — со, — 1]. Так как cos ( z 4- л) = — cos z, то верхняя полуполоса я х 2я, у > О переходит в верхнюю полуплоскость г>>0, а нижняя полуполоса
94
аналитическое продолжение. элементарные функции [гл. 3
л sg 2л, у < 0 — в нижнюю полуплоскость d<cO (рис. 3.3). Аналогичное положение, очевидно, имеет место и для любой полосы ля X =?(л + 1)п. Отсюда следует, что областью однолистности
