Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим конкретный пример разобранного способа аналитического продолжения.
Пример 3. Пусть первоначально функция Z1 (z) задана своим степенным рядом
со
/i(2) = Ez". (3-70)
п=0
Этот ряд сходится внутри круга |z; •< 1 к аналитической функции Z1 (z) = у—. Всюду вне круга } z | < 1 ряд расходится; следовательно, Z1(Z) не определена вне круга '2\<;1. Выберем некоторую точку Z0 внутри круга | z' < 1 и построим разложение Zi (г) в
OO
степенной ряд Cn (z — Z0)" с центром в этой точке. Вычислив коэф-
фициенты Cn по формуле (2.16), получим Cn = -—^HJT-,. Легко по-
казать, что радиус сходимости данного ряда p(z„) равен Jl—zn |. Как следует из элементарных геометрических соображений, в том случае, когда точка Z0 не лежит на отрезке действительной оси (О, 1], круг сходимости данного ряда выйдет за пределы первоначального
со
круга сходимости , z \ < 1. Следовательно, функция Z2 (-2)= ^ (~уі-\
;i=U
является аналитическим продолжением функции Zi (z) на область \z — z0\<\ \ —za\.
Заметим, что степенной ряд, определяющий функцию f2 (z), также
легко суммируется, причем Z2 (г) — j ¦ Поэтому взяв в качестве
понятие римановой поверхности
105
нового центра разложения точку Z1 внутри круга \z — Z01 < ] 1 — z0\,
OO
получим ряд (\~__z ^hTi, сходящийся внутри круга \ Z-Z1-C
<;'!—Z1I к функции /3(2) = 7—-;, совпадающий с /.,(2) и Z1(Z)
в общих частях круга \z — Z11 •<! 1—Z1I и областей определения соответствующих функций. Тем самым /3(z) является аналитическим продолжением Z1 (z) па новую область. Отметим, что при любом выборе точки Z1 граница соответствующего круга сходимости пройдет через точку z = 1 (рис. 3.10). Поступая аналогичным образом, можно построить аналитическое продолжение функции Z1 (г) на полную плоскость комплексной переменной, за исключением точки 2=1. При этом аналитическим продолжением Zi (2), полученным с помощью степенных рядов, является функция F (z) = -p-i—, оп-1 — z
ределенная и аналитическая всюду, за исключением точки z= 1.
Итак, нам удалось расширить область первоначального задания аналитической функции F (г) — круг |z|<l, в которой была задана функция Zi (z), — на большую область. Заметим, что, хотя и имеют место многочисленные взаимные наложения построенной цепочки областей, полученная аналитическая функция F(z) = Y^-— является однозначной во всей области своего определения — на полной плоскости z с выброшенной точкой 2=1. Дальнейшее аналитическое продолжение функции F (z) па большую область уже невозможно. Точка -2 = 1, являющаяся границей области аналитичности функции F(z), представляет собой в определенном смысле особую точку этой функции. Поведение аналитической функции в окрестности таких точек заслуживает более подробного изучения, что и будет проведено в дальнейшем.
5. Правильные и особые точки аналитической функции. Пусть функция Z(z) задана в области S, ограниченной контуром Г. Точка Z0 с= S называется правильной точкой функции Z(z)> еслп
со
существует сходящийся степенной ряд ^ сп (z ~ ~о)"> который в общей части области S и своего круга сходимости \ z — 201 < р (z0)
106
аналитическое продолжение. элементарные функции [гл. 3
сходится к функции Z(2O- На значение числа р (z0) накладывается единственное ограничение: р (Z0) строго больше нуля. Точки z є= S, не являющиеся правильными точками функции f(z), называются ее особыми точками. Ясно, что если f(z) — аналитическая в области S, то все внутренние точки этой области суть правильные точки функции f(z). Точки границы Г могут быть как правильными, так и особыми точками аналитической функции f(z). Очевидно, что все точки границы Г, лежащие внутри круга | z — Z0 \ < р (z0) с центром в некоторой правильной точке Z0 єе У, также являются правильными точками функции f(z). Так, в рассмотренном выше примере все точки границы JzI=I области первоначального определения функции
со
Z1(Z)= 2 zn, за исключением точки z= 1, являются правильными
п = о
точками. Единственной особой точкой этой функции может быть лишь точка z=l. Она же является и особой точкой функции
F (z) = y~-, аналитического продолжения функции Zi (2O на расширенную область. Аналогично точки z = 0, оо являются особыми
п ,—
точками функций у z и Ln z, рассмотренных в пункте 3.
Пусть аналитическая-функция Z1(Z) первоначально задана в области S1, и пусть все точки связного участка Г' границы Г этой области являются правильными точками функции ZiC2O- Тогда из проведенных выше рассмотрений следует, что функция Z1(Z) может быть аналитически продолжена через Г' на большую область. Может оказаться, что все точки границы Г области S1 первоначального задания аналитической функции f(z) являются правильными. В этом случае функцию Z(2O будем называть аналитической в замкнутой области S1. Из предыдущих рассмотрений следует, что функцию, аналитическую в замкнутой области S1, можно аналитически продолжить на большую область S, содержащую область S1.
Аналитическое продолжение через участок границы, содержащий лишь особые точки функции Z1 (z), очевидно, невозможно.
