Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
со
Inz= 2 (—I)"'1 (г~1)В (3.14)
. V 1 -3...(2«-1)ггя+і ,„
arcsmz = z + ^ 2"-я1 (2«+!— (ЗЛ5)
л = 1
Отметим, что функции (3.14) и (3.15), в отличие от введенных выше функций (3.7) — (3.9), уже не являются целыми функциями, так как определяющие их ряды сходятся не на всей комплексной плоскости, а лишь внутри кругов единичного радиуса. Свойства этих функций также будут рассмотрены несколько позже. Отметим только, что функция (3.14) в круге \z—1 j < 1 совпадает с введенной иным
z
С dt
способом в гл. 1, стр. 45, функцией In z= V -, так как обе эти
і
аналитические функции определены в указанной области и совпадают на общем интервале действительной оси 0<дг<2 с одной и той же функцией In х. Поэтому для обеих функций мы используем одно
Z
и то же обозначение. Тем самым и функция /(z) = ^ f, определен-
1
пая на комплексной плоскости z, разрезанной по отрицательной части действительной оси, является аналитическим продолжением функции In X на соответствующую область.
В заключение заметим, что если функция /(Jf) действительной переменной х задана своим степенным рядом
OO
/(Jf)=San(Jf-Jf0)", (3.16)
сходящимся на отрезке \а, Ь], то существует аналитическая функция f(z) комплексной переменной z, являюіцаяся аналитическим продолжением f(x) в комплексную область S, содержащую отрезок Iа, Ь\ действительной оси. Указанное обстоятельство позволяет называть функцию действительной переменной f(x), представимую
элементарные функции комплексной переменной
83
рядом (3.1G), аналитической функцией. Напомним*), что функция действительной переменной, представимая на отрезке [а, Ь] степенным рядом (3.16), имеет на этом отрезке производные всех порядков. Очевидно, аналитическим продолжением производной (х) в область 8? является производная (z).
2. Продолжение соотношений. Перейдем к рассмотрению дальнейших следствий из теоремы о единственности определения аналитической функции. Эта теорема позволяет не только строить аналитические продолжения элементарных функций действительной переменной, по и аналитически продолжать в комплексную область соотношения, имеющие место между соответствующими функциями действительной переменной. В качестве типичных примеров рассмотрим, во-первых, соотношения вида
sin8 je+ cos2 X = 1, (3.17)
еЫх = х (3.18)
и, во-вторых, соотношения вида
exi-ex'- = ex' + x', (3.19)
cos (Jc1 + X2) = cos X1 ¦ cos x2 — sin X1 ¦ sin Jc2. (3.20)
Соотношения (3.17) и (3.18) устанавливают связь между различными функциями одной действительной переменной; в соотношения (3.19) и (3.20) входят функции нескольких переменных. Это одни из основных соотношений для элементарных функций действительных переменных. Естественно поставить вопрос: останутся ли они справедливыми для аналитических продолжений элементарных функций в комплексную область?
Установим, что тождество (3.17) остается справедливым и в комплексной области. Для этого рассмотрим функцию
F (г) = sin2 г + cos2 г — 1
комплексной переменной z. Согласно общим свойствам аналитических функций (см. гл. 1 стр. 33) F (z) является целой функцией z, причем для действительных значений Z = х (в силу (3.17)) F(Jc) = O. Отсюда по теореме единственности мы и получим, что на всей комплексной плоскости z выполняется соотношение
sin2 z + cos2 z == 1. (3.21)
Подобные же рассмотрения могут быть проведены и для доказательства справедливости в комплексной области выражения (3.18) и других соотношений, связывающих различные аналитические функции одной комплексной переменной. Однако нет нужды каждый раз проводить специальное исследование, а можно сформулировать общую теорему.
*) См. вып. 2, стр. 328.
84
аналитическое продолжение. элементарные функции [гл. 3
Пусть дана функция F[W1, Wn] комплексных переменных W1, ..., Wn, аналитическая по каждой переменной *) W1 е D1 и такая,
3F
что она сама и ее частные производные ¦^—- непрерывны по совокупности переменных W1, Wn. Обладающую указанными свойствами функцию F[W1, Wn] будем называть аналитической функцией многих комплексных переменных. Пусть даны п функций Z1(Z), fn(z) комплексной переменной z, определенные в области S комплексной плоскости z, причем /; (г) є D;.
Будем говорить, что функции ft(z) удовлетворяют соотношению F[Z1(Z), fn(z)[ = 0 на множестве М, если это соотношение удовлетворяется во всех точках zel В дальнейшем будем рассматривать соотношения, задаваемые только аналитическими функциями многих комплексных переменных. Имеет место
Теорема 3.1. Если функции ft(z) являются аналитическими функциями z в области S, содержащей отрезок [а, Ь] действительной оси х, то из соотношения F[Z1(X)1 ...,/„(х)] = 0 при a =? X <и следует соотношение F [Z1 (z), fn (z)] = 0 при z <^S.
Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно показать, что при сформулированных условиях функция ф(г) = — F [fi (z)< •••> fn С2)] является аналитической функцией комплексной переменной z в области S. Доказательство проведем для случая двух переменных W1, т. е. когда Ф (z) — F [fx (z), /2(2)]. Фиксируем в области S произвольную точку Z0 Є. S и обозначаем Z1 (z0) = w\ и A(zo) — w\- Составим выражение
