Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
фуНКЦИИ COS Z ЯВЛЯетСЯ ПОЛОСа ЛЛ. <-С <С (Я + 1)Я. ФуНКЦИЯ COSZ
представляет собой бесконечнолистную функцию, а ее областью значений является бескоиечнолистная риманова поверхность, получающаяся путем склеивания плоскостей w, разрезанных по лучам действительной оси [—-со, — 1] и [1,со], по соответствующим берегам разрезов.
Рис. 3.3.
В заключение наших рассмотрений основных свойств показательной и тригонометрических функций исследуем вопрос о нулях этих функций. Показательная функция w — ег не обращается в нуль ни при каком значении комплексной переменной z, как зі о следует из формулы (3.38). Все нули тригонометрических функций лежат на действительной оси. В самом деле, если sin Z = 0, то е1г — е~'г = 0, е2'г=1. По если комплексные числа равны, то их аргументы различаются на число, кратное 2л., откуда z — пя, что и доказывает высказанное утверждение.
§ 2. Аналитическое продолжение. Понятие римановой поверхности
1. Основные принципы. Понятие римановой поверхности.
Основной задачей аналитического продолжения является продолжение значений функции f(z), заданной в некоторой области У на большую область
понятие римлновои поверхности
95
Пусть на комплексной плоскости даны две области
S0
имею-
щие общую часть *) S12 (рис. 3.4). Пусть однозначные аналитические функции fx (г) и /2{г) заданы соответственно в областях S1 и S2 и тождественно совпадают между собой в пересечении S12. Тогда функция F (z), определенная соотношениями
F(z) =
A (г),
А (г),
(3.50)
: S1 -J- S2 и совпа-
является аналитической в расширенной области S дает с A (z) в и с А (~) в ^2-
Функция F (z) называется аналитическим продолжением функции A(z) (A(Z)) на область S = S1 +S2. Функцию A(z) (A(z)) также называют аналитическим продолжением функции A (z) (A (z)) на область S2 (S1).
Как легко видеть, аналитическое продолжение F(z) функции J1(Z)
Рис. 3.4.
Рис. 3.5.
на область S = S1 -j- S2 определено единственным образом. Действительно, предположение о существовании в области S двух различных функций, тождественно совпадающих с /1(2) в области S1, приводит к противоречию с теоремой о единственности определения аналитической функции, доказанной в предыдущей главе.
Данный способ аналитического продолжения функции A(z) из области S1 на более широкую область S представляет собой простейшую форму принципа аналитического продолжения.
Обратимся теперь к случаю, когда функции A(z) и A(z) тождественно совпадают лишь на части S'H пересечения S12 областей S1 и S2 (рис. 3.5). Рассмотрим область S = S1 +S2-S"n, гДе ~ = S12 — S'n — та часть пересечения S12, в которой функции /1(2) и A(z) различны. Согласно предыдущим рассмотрениям в S определена единственная аналитическая функция F (г), являющаяся аналитическим
*) При этом могут быть различные случаи. Например: а) область S1 содержится в области S2, тогда S12, очевидно, совпадает с областью S-C, б) пересечение S12 является односвязной или многосвязной областью; в) пересечение S12 состоит из нескольких (может быть, и бесконечного числа) отдельных связных областей.
96 аналитическое продолжение. элементарные функции [гл. 3
Fit*) = \ t ,,\ ~г-ь» (3'51)
продолжением Z1 (г), заданной в области — У'н на область J-. Эта функция тождественно совпадает с функцией Z1 (г) в области J^1 — У[.г и с /2(2) в области ^2-¦^1s- Функция F(z) може г быть аналитически продолжена на множество У^ двумя способами:
F(z), z<=§, /1 (z), z є Уп или
\ F(Z), z^b,
Это нас, естественно, приводит к необходимости рассмотрения многозначной аналитической функции F (z), определенной в области ^.— ^!-4-^2 и принимающей различные значения в одних и тех же точках части У'п области В частности, в данном случае мы получаем двухзначную аналитическую функцию F(z), принимающую в одной и той же точке zQ е У'п два различных значения, совпадающие со значениями функций f-, (z) или /2 (z) в этой точке.
Оперируя с многозначной функцией F (z), имеющей различные значения в одной и той же точке комплексной плоскости, приходится встречаться с трудностями выбора ее значений в данной точке. Для удобства выбора этих значений часто пользуются понятием ветви аналитической функции *), являющейся однозначной и непрерывной функцией в соответствующей части области определения функции F (z). Однако более удобным оказывается несколько иное представление, позволяющее рассматривать данную функцию как однозначную, но определенную на более сложном многообразии, чем использовавшаяся до сих пор обычная плоскость комплексной переменной. Так, возвращаясь к рассмотренному выше примеру двухзначной функции F (z), будем считать, что области ax и склеены по общей части Уп, в которой функции fx (z) и /2 (z) совпадают, а два экземпляра принадлежащие областям и ^2, оставлены свободными.
Тогда па полученном геометрическом многообразии, представляющем собой объединение областей и J?2, склеенных по Уп (так что точки, принадлежащие Уп, перекрыты дважды), функция F (z) является однозначной аналитической функцией.
Построенное таким образом многообразие называется римановой поверхностью аналитической функции F (z), являющейся аналитическим продолжением функции Z1 (z) (/2 (z)), а отдельные экземпляры повторяющихся областей — различными листами римановой поверхности.
