Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Приведем пример аналитической функции, заданной в ограниченной области, которую невозможно продолжить на большую область.
Пример 4. Рассмотрим аналитическую функцию f(z), заданную степенным рядом
со
/(z)=222'!- (3-71)
Как легко определить с помощью простейших признаков, ряд (3.71) сходится внутри круга |zj<<l. При действительном хI сумма
OQ
хгП неограниченно возрастает, тем самым точка z = 1 является
/1=0
особой точкой f(z). Покажем, что и точки zkxtn = e 2 . где /л = 1, 2, 3, ..., 2k, a k — любое натуральное число, являются особыми точ-
. 2л
і -— т
ками функции f(z). Для этого рассмотрим точку zktm = p-e 2 (0<р< ') и представим значение функции f(z) в этой точке в виде
t-l со ^
/(2A, га) = 2 m + S 2*. '"• (3.72)
і! = 0 л = к
Первое слагаемое в (3.72), являющееся суммой конечного числа слагаемых, по абсолютной величине ограничено, а второе, в силу выбора точки Zk, т, может быть преобразовано к виду
OO со
2 zT,,n=Zp*n. (3.73)
"= k n = k
При р->1 сумма выражения, стоящего справа в (3.73), неограниченно возрастает. Это и доказывает, что точки zki т являются особыми точками функции f(z). Но при /? ->- оо эти точки всюду плотно *) расположены на окружности \z\ = \. Отсюда следует, что функция (3.71) действительно непродолжима ни через какую дугу этой окружности.
Строя аналитическое продолжение функции F (z) = у-ц^ с помощью степенных рядов, мы видели, что граница круга сходимости каждого ее элемента fk(z) проходит через точку z=\, особую точку этой функции. Тем самым на границе круга сходимости любого из построенных степенных рядов лежит особая точка аналитической функции, к которой этот ряд сходится. Это свойство является общим следствием следующей теоремы.
Теорема 3.3. На границе круга сходимости степенного ряда лежит хотя бы одна особая точка аналитической функции F (z), к которой сходится данный ряд.
Доказательство. Предположим, что все точки окружности
со
C0 круга K0 сходимости ряда f(z) = У) Cn (z — Z0)" являются пра-
л = 0
вильными, т. е. для любой точки ZGeC0 существует такое p(z)>0, что в общей части круга K0 и своего круга сходимости | z — z \ < p(z)
со
соответствующий ряд ^ сп (z) (z — z)n сходится к f(z). Пусть part=!)
диус круга K0 есть R0.
*) То есть в любой е-окрестности каждой точки окружности 12 j = 1 найдутся точки последовательности \zk, т].
аналитическое продолжение. элементарные функции [гл. 3
Рассмотрим функцию р (z), определенную на окружности C0. Покажем, что для любых двух точек Z1 и z2 из окружности C0 выполнено условие
I P P(^2) (3.74)
Действительно, предположим, что это условие не выполнено, например, р (z2) — р (z1) = 1 z] — z21 + б, где б > 0. Тогда круг | z — z,J <р (z1)
СО
сходимости ряда гя (^1) (.г1 — ^1)" :--/г (г) лежит внутри круга
п =0
со
! ^ — z21 < р (z2) сходимости ряда r„ (z2) (z — z2)" = /2 (z) (рис.3.11).
В общей части этих кругов и круга K0 оба ряда сходятся к одной и той же функции /(z). Следовательно, функция /2 (z) является апалитическп.м продолжением функции fx(z). Это означает, что
в круге I z — z1! < р (z1) -[- б определена аналитическая функция /2 (z), совпадающая с Z1 (z) в круге I z — z11 < р (z1). В силу теоремы Тейлора отсюда следует, что радиус сходимости ряда
со
2 сп (zi) (z—ziT не меньше чем
р (Z1) ~f- б, что противоречит исходным данным. Итак, условие (3.74) установлено.
Рис. 3.11. Из этого условия следует рав-
номерная непрерывность функции
р (z) на кривой Cn. Действительно, соотношение | р (z1) — р (z2) | < є выполняется для любого наперед заданного е>0, если только выполнено условие [ Z1 — z2 \ < е. Так как функция р (z) > 0, то она ограничена снизу и в силу непрерывности достигает на C0 своей точной нижней грани *) р (z) ^ р (z„) = р0 > 0. Последнее неравенство имеет место, потому что для всех z є C0 выполняется строгое неравенство р (z) > 0.
В силу единственности аналитического продолжения можно утверждать, что в круге J z — .z0 J < R0-|гр() определена однозначная аналитическая функция F (z), совпадающая с функцией /(z) в круге ! 2 — z0 J < Следовательно, радиус сходимости исходного степен-
CO
ного ряда 2 Cn(Z-Z0)" должен быть R0+ р0, а не R0. Mo это про-
п=0
*) См. вып. 1, стр. 250.
понятие РИЛ1АІІОВОЙ поверхности
109
тиворечит условию теоремы. Итак, предположение, что все точки границы круга сходимости правильные, приводит к противоречию. Теорема доказана.
Из теоремы 3.3 следует, что радиус круга сходимости степенного ряда определяется расстоянием от центра сходимости до ближайшей особой точки той аналитической функции, к которой сходится данный ряд.
6. Понятие полной аналитической функции. Предыдущие рассмотрения позволили построить аналитическое продолжение функции fi(z), заданной в области S1, па большую область S = S1+S2 пли соответствующую рпманову поверхность. Как мы видели, можно рассматривать аналитическое продолжение вдоль цепочки областей S1, S2, Sn, имеющих общие части S'!i/+U в которых совпадают аналитические функции fx(z), f2(z), fn(z), заданные в областях S1, S2, Sn. При этом мы получим в области S = S1 +S2+.. . + Sn
