Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
IW = іп [lz + — 22],
откуда окончательно получим
w = arc sin z = - і In [іz + Yl -z2}. (3.47)
Это выражение на первый взгляд довольно сложно, и невольно возникает сомнение, дает ли оно, в частности, действительные значения arcsin.v для действительных значений z — x, удовлетворяющих условию Однако сомнение нетрудно рассеять. Обозначим ? = = /z-f j/l — z2. Для действительных значений z—x, удовлетворяющих условию I X I=S^l, получим J ? | = |/\г2 -f-1 — х2 = 1 и argt =
= arrfg х = ягг sin г. Отсюда в силу формулы (3.42) имеем у 1-х2
— і In і = — і [ 1 n 1 + і arg t\ = arg Z = arc sin x.
Так как функция (3.42) определена для всех значений своего аргумента на комплексной плоскости с разрезом но отрицательной части действительной оси, то формула (3.47) дает аналитическое продолжение функции aresin z на некоторую область плоскости z. При этом точки z = ± 1 оказываются в определенном смысле особыми. Действительно, в результате обхода любой из этих точек на плоскости z по замкнутой кривой, принадлежащей достаточно малой е-окрестности этой точки, при непрерывном изменении функции (3.47) она изменит свое значение, так как при однократном обходе точки
аналитическое продолжение. элементарные функции [гл. 3
z = 1 или Z = —\ функция У~1 — z2 изменяет свое значение *). Поэтому в качестве области однозначного определения функции (3.47) может быть выбрана, например, полная плоскость z с разрезами вдоль отрезков действительной оси [ — со,— 1 ], [1, со].
4. Отображения элементарных функций. В заключение данного параграфа, посвященного элементарным функциям комплексной переменной, рассмотрим некоторые геометрические свойства отображений, осуществляемых этими функциями. Начнем с простейших примеров.
Пример 1. В гл. 1 была рассмотрена простейшая степенная функция w = z2. Рассмотрим теперь отображение, осуществляемое функцией
w = г", (3.48)
где п — произвольное целое число. Эта функция, очевидно, является целой функцией. Для изучения геометрических свойств ее отображения удобно воспользоваться показательной формой записи комплексных чисел: ? = ре'ф, w = re'^ = р"е'л<Р, из которой следует, что
любой сектор **) с центральным углом а = — - плоскости z данной функцией отображается на полную плоскость w. Различные внутренние точки этого сектора отображаются на различные точки плоскости w. При этом границы сектора переходят в один и тот же луч г]) = 1]? на плоскости w. Для установления взаимно однозначного соответствия между областью однолистности функции г" и плоскостью w будем считать, что на плоскости w произведен разрез по лучу г]) = 1]? и границам данного сектора плоскости z сопоставлены
различные берега разреза. Например, сектор 0 sc ср < плоскости z
функцией (3.48) отображается на полную плоскость w, причем обе границы этого сектора, лучи 1 и II на рис. 3.1, переходят в положи-
тельную часть действительной оси и плоскости w. Сектор =?=?^== ^
также отображается на полную плоскость w и т. д. Поэтому геометрический образ функции w = zn представляет собой плоскость w, повторенную її раз. Тем самым отображение полной плоскости z на полную плоскость w, осуществляемое данной функцией, не является взаимно однозначным. Однако, если в качестве геометрического образа функции w рассматривать более сложное многообразие, чем обычная комплексная плоскость, можно сохранить взаимную однозначность отображения. Будем считать, что мы имеем п экземпляров (листов) плоскости w, разрезанной по положительной части действительной оси, на каждом из которых arg w изменяется в пределах 2я (k — 1) ^arg
sg2nA, где k = 1, 2,..., п. Сектору — (k— 1) cp ^ ? плоскости Z *) См. стр. 29—30.
**) Здесь под сектором мы понимаем замкнутую область вместе с ее границами.
элементарные функции комплексной переменной
91
функция (3.48) ставит в соответствие А-й лист плоскости w; луч
2я
Ф = — (А—1) переходит в верхний берег разреза А-го листа, а луч Ink
Ф = —^- — в нижний берег разреза этого же листа. Построим из этих
листов непрерывное геометрическое многообразие так, чтобы непрерывному движению точки на плоскости z соответствовало непрерывное движение точки w на данном многообразии. Для этого заметим, что нижний берег разреза А-го листа и верхний берег разреза (A-J-1)-го листа имеют один и тот же аргумент % = 2л • А. Когда точка z в своем
Z=O
непрерывном движении по плоскости z переходит из одного сектора в другой, соответствующая ей точка w переходит с одного листа плоскости w па соседний лист. Очевидно, чтобы сохранить непрерывность отображения, мы должны соединить соседние листы, склеивая нижний берег разреза А-го листа с верхним берегом разреза (А+1)-го листа. При этом остаются свободными верхний берег разреза 1-го и нижний берег разреза л-го листов. Пусть точка z совершит на плоскости z полный оборот вокруг точки z = 0, последовательно пройдя через все п секторов этой плоскости, начиная с первого сектора, и вернется к своему первоначальному положению. Тогда соответствующая ей точка w пройдет п листов, и, чтобы она вернулась на первый лист, надо склеить остававшиеся свободными берега разрезов на 1 -м и л-м листах. Тем самым полной плоскости z функция w = zn ставит в соответствие я листов плоскости w, склеенных указанным выше образом. Такое геометрическое многообразие представляет собой частный случай так называемой рнмановой поверхности. Функция w = zn является я-листной функцией.
