Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
*) Например, такое рассмотрение мы проводили в гл. I при изучении функции г = yrw-
понятие римановой поверхности
97
Таким образом, вместо рассмотрения многозначной функции на комплексной плоскости z мы можем рассматривать однозначную функцию на римановой поверхности. Так же как и в простейшем случае, рассмотренном в начале данного пункта, приведенный способ аналитического продолжения функции Z1 (z) из области ^1 па более широкую область, представляющую собой уже римапову поверхность, является частной формой общего принципа аналитического продолжения. Очевидно, можно аналогичным образом строить и аналитическое продолжение однозначных аналитических функций, заданных на римановой поверхности. При этом мы, естественно, придем к мно-голистпым римановым поверхностям, представляющим собой геометрическое многообразие, в которое одна и та же область комплексной плоскости входит уже не в двух, а во многих экземплярах. Соответствующие примеры будут рассмотрены в пункте 3 данного параграфа, а сейчас рассмотрим еще один способ аналитического продолжения.
2. Аналитическое продолжение через границу. В ряде случаев для аналитического продолжения функции Z1(Z), первоначально заданной в области Э], используется также следующий способ. Пусть области ^1 и
имеют в качестве общего участка границы кусочногладкую кривую T12 (рис. 3.6) и в этих областях заданы аналитические функции A(z) и /2(z), непрерывные соответственно в ^1-T-T12 и ^2+Г12 и совпадающие на Г12. Рассмотрим множество точек ^ = -j--f + Гіг- 'Гак как точки z є Г12 являются внутренними точками этого множества, то множество S является областью. Покажем, что функция F (z), определенная с помощью соотношений
Рис. 3.6.
{ А (*).
^і + Г12,
+ Г12,
(3.53)
является аналитической в области ^ = ¦-^1 + ^2 + Гіг- Очевидно, достаточно доказать, что для каждой точки z0 области 5, лежащей на кривой Г12, можно указать такую окрестность, в которой функция F (z) является аналитической. Возьмем произвольную точку z0 є Г12 и построим окружность C0 с центром в этой точке, целиком лежащую в Рассмотрим интеграл типа интеграла Коши
O)(z) =
2.Ii ) с, —z s с„
(3.54)
В силу установленных ранее свойств интегралов, зависящих от параметра (гл. 1, стр. 52), функция Ф (z) является аналитической функ-
98 аналитическое продолжение. элементарные функции [гл. 3
цией z при любом положении точки z, не лежащей на кривой C0. Покажем, что когда точка z лежит внутри окружности C0, то 4>(z) = F(z). Действительно, представим интеграл (3.54) в виде
где C1 и C2 суть части окружности C0, лежащие в и (Q = C1 + C2), a Y12 — часть кривой Г12, попавшая внутрь окружности C0. Если точка z принадлежит области 5Ъ то в силу теоремы Коши *) получим
откуда 0(Z)=Z1(Z) = F(Z) при ze^1. Аналогично Ф(г) = f.z(z) = F(z) при г є ^2. В точке Z0, принадлежащей уГ1, в силу непрерывности функций Ф (z), Z1 (z), /2 (z) внутри окружности C0, также будем иметь Ф (2o)= /1(-0)=/2(^0) = ^(%). откуда и следует, что F (г) является аналитической функцией в области
И в этом случае, так же как и в предыдущих, мы будем говорить, что функция Z1(Z) (f2(z)), заданная в области ^(?, аналитически продолжена на область ^2 (^1). Построенная выше функция F (z) является аналитическим продолжением функции Z1 (z) в область & — + + Ti2- Описанная конструкция представляет собой частную форму общего принципа аналитического продолжения — аналитическое продолжение через границу области. При этом, так же как и в предыдущих случаях, мы при продолжении через границу можем прийти к необходимости рассмотрения однозначной аналитической функции на римановой поверхности в тех случаях, когда области 5Х и j?2> кроме общего участка границы Г12, имеют непустое пересечение -^12, в котором функции Z1 (z) и Z2 (z) не равны тождественно друг другу.
Рассмотрим теперь ряд примеров применения общих принципов аналитического продолжения, приводящих как к многозначным, так и однозначным функциям.
3. Примеры построения аналитического продолжения. Продолжение через границу. Рассмотрим некоторые примеры построения аналитического продолжения функции Zi (z), первоначально заданной в области ^1 комплексной плоскости z. При этом, как было отмечено выше, мы в ряде случаев приходим к необходимости рассмотрения функции, многозначной на комплексной плоскости.
В гл. 1 мы уже имели простейший пример многозначной функции комплексной переменной — функцию W = Y^z, являющуюся**) обрат-
*) Применимость теоремы Коши к интегралам в правой части (3.55) очевидна в силу сделанного предположения о кусочной гладкости кривой F12 и выбора кривой C0.
**) Мы изменили здесь обозначения зависимой и независимой переменных.
h (I)
Є-2
понятие римановой поверхности
99
ной степенной функции z = w2. Рассмотрим теперь эту и ряд других функций с более общей точки зрения аналитического продолжения.
Пример 1. Функция w = y/~z. Согласно правилу извлечения корпя л-й степени из комплексного числа одному значению z соответствует л различных комплексных чисел w, вычисленных по формуле
. ф + 2я/г
