Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 3.8.
уже не на исходном А-м, а например, на (A-j-I)-m листе (arg z0 = = ф0-|-2л). Точка z„, при обходе которой по любой замкнутой кривой R достаточно малой окрестности этой точки происходит переход с одного листа римановой поверхности аналитической функции F (z) на другой ее лист, называется точкой разветвления функции F(z). Как легко видеть, это определение точки разветвления эквивалентно определению, данному в гл. 1, стр. 29. Очевидно, в рассматриваемом
п,—
примере функции w = y z точками разветвления являются точки
z = O и z = со.
*) Рис. 3.8 соответствует случаю k = l.
102 аналитическое продолжение. элементарные функции [гл. 3
Пример 2. Функция w = Ln z.
Рассмотрим в замкнутой области S0, представляющий собой плоскость z, разрезанную по отрицательной части действительной оси — я arg z я, функцию In z, о которой шла речь в предыдущем параграфе:
W0 = ln(z) = In j z I -f- і arg z, —я ?=c arg 2 я. (3.63)
Как мы знаем, эта однозначная аналитическая функция является аналитическим продолжением действительной функции и = In X и обратиа функции z = ew. Поэтому функция (3.63) отображает область S0 плоскости z на полосу —я <^\mw < я плоскости да. Рассмотрим в замкнутой области S1 (я =? arg z Зя) функцию
¦а^ = In1 (г) = In | z | -f-/ arg z, я s=c arg z sc; Зя. (3.64)
Очевидно, функция «J1 (г) является аналитическим продолжением W0 (z) в область ^1. Аналогично функция
w_\ (z) = ln_? (2) = In j z j -f г arg z, —Зя < arg z ==с — я, (3.64')
определенная в замкнутой области (—Зя ?=S arg z =? — л), является аналитическим продолжением функции W0 (z) в области S_v Также и функция Wk (z):
wk (z) = \nk (z) = In .| z j +7 arg z, л (2k— 1) sc arg z =s- я (2A -f 1),
(3.65)
определенная в замкнутой области Sk, я (2/г— 1) ==с arg z s=c я (2А -\-1), является аналитическим продолжением функции W/,_1(z). Функция wk(z), однозначно отображающая область Sk на полосу я (2k—1)<1ти><; < я (2&-f-1 )i также является обратной функции z = ew. В отличие от предыдущего случая, ни одна из функций Wu (z) (k 0) не равна тождественно функции W0 (z). Поэтому, данный процесс аналитического продолжения следует вести неограниченно как для k > 0, так и для k <С 0. Тем самым полная аналитическая функция
W1(Z), z^.h + T0il + Th2, F(z) = Lnz = ln|z| + ^Argz = f w0(z), z єе S0 + Г0, г + Г0і _ь
OL1 (2), гє=.?_1 + Г0,_І + Г_1і_2>
(3.66)
является бесконечнозначной на обычной плоскости z и однозначной
со
на бесконечнолистной римановой поверхности R = ^ Sn, состав-ленной из бесконечного множества листов Sn путем склеивания верх-
понятие римановой поверхности
103
пего берега разреза каждого (/e-f-l)-ro листа с нижним берегом разреза предыдущего /г-го листа. Как и в предыдущем случае, точки Z = O и Z = Co являются точками разветвления функции Ln г.
Отметим еще раз, что функция w = Ln z является обратной функции z = ew. Это позволяет определить степенную функцию za для любого комплексного значения а в виде
2а = (eLn*yz = eaLn2_ (3.67)
4. Примеры построения аналитического продолжения. Продолжение с помощью степенных рядов. В рассмотренных примерах различные ветви аналитической функции задавались в явном виде на всей комплексной плоскости и построение аналитического продолжения производилось путем соответствующего склеивания областей определения этих ветвей. Рассмотрим теперь еще один метод конкретного построения аналитического продолжения аналитической функции, первоначально заданной в некоторой области S1 комплексной плоскости z.
а) 6)
Рис. 3.9.
Пусть функция Z1 (z) является аналитической в области S1. Выберем произвольную точку Z0 с= S1 и, разложим fx (z) в степенной ряд в окрестности этой точки:
со со
Л (Z) = 2 сп (Z - Z0Y = 2?~г (Z -Z0Y. (3.68)
п=0 п=й
Рассмотрим ряд, стоящий в правой части (3.68). Априори возможны два случая (рис. 3.9). В первом случае радиус сходимости R0 ряда (3.68) не превосходит расстояния от точки Z0 до границы F1 области S1. В этом случае разложение (3.68) не выводит за границы области S1 первоначального определения аналитической функции /х (z). Во втором случае радиус сходимости R0 ряда (3.68) больше расстояния от точки Z0 до границы T1 области S1. В этом случае область S2, представляющая собой круг \z — z0\<cR0, уже не является подобластью области S1, а лишь имеет с ней общую часть S12. В области
104 аналитическое продолжение. элементарные функции [гл. 3
^2 сходящийся степенной ряд (3.68) определяет аналитическую функцию /2(z), совпадающую с Z1(Z) в ^12. Эта функция /2 (z) является аналитическим продолжением J1 (z) в область ^2. Следовательно, в области ^ = + ^2 определена аналитическая функция
( Zi О), Z ЄЕ Z1, ( /2 (г), z <= S>2.
Итак, в рассматриваемом случае разложение (3.68) выводит за границу T1 области Z1 первоначального определения аналитической функции J1(Z). Проведя аналогичные рассмотрения для некоторой точки Z1 построенной области Z2, затем для точки Z2 области Z3 и т. д., мы получим аналитическое продолжение функции Zi (г) вдоль цепочки областей S1, Z2,..., Zn, ...При этом возможны такие взаимные наложения областей цепочки, которые приводят к необходимости рассматривать функцию F (z) как однозначную аналитическую функцию, определенную уже не на обычной комплексной плоскости z, а на римановой поверхности.
