Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
и Z3 = Z1 + Z2.
W1 = е2', W2 = ez", W3 = ez'- = e?i +4 (3.26)
Рассмотрим функцию трех комплексных переменных
F[W1, W2, W^ = W3-W1-W2. (3.27)
Поскольку функции (3.26), (3.27) являются целыми функциями своих переменных, a F = O при Z1 = X1, z2 = x2, Z3 = X3 (—со <; х,- <= со), то выполнены все условия теоремы 3.2, что и доказывает справедливость соотношения (3.19) при любых значениях комплексных переменных Z1 и Z2.
3. Свойства элементарных функций. Перейдем теперь к более детальному изучению основных свойств введенных выше элементарных функций комплексной переменной. В силу теорем 3.1 и 3.2 при всех значениях комплексной переменной z имеют место соотношения
sin2 z -j- cos2 z=l, (3.28)
Ch2Z-Sh2Z=L (3.29)
и другие известные тождества для различных тригонометрических и
§ 1] элементарные функции комплексной переменной 87
п=0
Разбив последний абсолютно сходящийся ряд на сумму двух рядов получим
OO OO
gl^ __ ¦* / 1 \п. ъ і ; Ж' / 1 ~\п ь
т. е.
2j ( 1^(L)! +г 2 *¦ ^"(2«+I)I'
л=0 п=0
е'? = cos г; + і sin ?. (З.зз)
Очевидно, это тождество имеет место для всех значений комплексной переменной ?.
Соотношение (3.33), устанавливающее связь между показательной и тригонометрическими функциями комплексной переменной, носит название формулы Эйлера. Из него следуют весьма важные для приложений формулы *)
cos z ==4-(^ + ^) (3.34)
sin z = ~ (eiz - e'iz). (3.35)
С помощью этих формул и формул (ЗЛО), (3.11) легко установить следующие соотношения, связывающие тригонометрические и гиперболические функции комплексной переменной:
sin z = — і sh lz, cos z = ch iz. (3.36)
*) Напомним, что в гл. 1 мы с помощью этих формул определили функции cos z и sinz, а также формально ввели соотношение Эйлера.
гиперболических функций одной комплексной переменной. Также имеют место соотношения
егі + г> = ег*-ег>, (3.30)
sin (Z1 -\- Z2) = sin Z1 cos Z2 -f- cos Z1 sin Z2, (3.31)
cos (Z1 -j- Z2) = cos Z1 cos z2 — sin Z1 sin Z2 (3.32)
и другие тригонометрические формулы, являющиеся аналитическим продолжением в комплексную область известных соотношений для элементарных функций действительной переменной.
Установим связь между показательной и тригонометрическими функциями комплексной переменной. Для этого вернемся к выражению (3.7) для функции ег и сделаем в нем замену переменной, положив z = /?. Тогда
88
аналитическое продолжение. элементарные функции [гл. 3
В частности,
sin Iy = і shy, cos Iy = chy. (3.37)
Установим еще некоторые важные свойства рассматриваемых функций. Предварительно заметим, что в силу формулы (3.30) имеет место соотношение
w = ez = ex + ly = ех -е'У. (3.38)
Отсюда следует, что ) w | = ех и arg w =у.
2
Рассмотрим теперь функцию w = \nz = V --, являющуюся анали-
о
тическим продолжением In х на комплексную плоскость, разрезанную по отрицательной части действительной оси. Так как для действительных положительных X функция In X является обратной экспоненте, то в силу теоремы 3.1 в области — я<С arg z < л сохраняется соотношение
е1пг = г, (3.39)
являющееся аналитическим продолжением соотношения еХах = х (х >0) в комплексную область. Тем самым функция In z является обратной к функции ew.
Отметим важное следствие формулы (3.39). В силу этой формулы п формулы (3.38) из соотношения w = u-\-iv = \nz следует
z = ew = e" + iv = са ¦ eiv. (3.40)
Отсюда \z\ = ea, arg z = v, а так как и и | z ]—действительные переменные, окончательно получим
u = \n\z\, V = arg z, (3.41)
где символ In j z I означает действительную логарифмическую функцию действительного положительного аргумента. Тем самым для функции комплексной переменной In z получим алгебраическую форму записи в виде
In z = In \ z I 4- і arg z. (3.42)
Из (3.42) получим значения: In/ = /^-, In(I) = O, In (—/) = —
In(I +/) = In т/2 + и т. д.
Аналогичным образом на основании теоремы 3.1 нетрудно показать, что и функция aresin z, определенная формулой (3.15), является обратной к функции sin z, т. е.
sin (aresin z) = z. (3.43)
Выше была установлена связь между показательной и тригонометрическими функциями. Очевидно, и функции, обратные к данным, на-
элементарные функции комплексної"! переменной
89
пример In z и aresin z, также связаны между собой определенными соотношениями.
В силу (3.43) из выражения W = arc sin z следует z = smw, что согласно (3.35) можно переписать в виде
z = -У (eiw - e'iw) (3.44)
или
e2iw - 2izeiw - 1 = 0. (3.45)
Разрешив квадратное уравнение (3.45) относительно elw, получим
eiw = iz + У J^zK (3.46)
Мы не пишем знак ± перед корнем потому, что функция г2
комплексной переменной z сама является многозначной функцией
(см. гл. 1, стр.28). Выбор ветви многозначной функции ]/ 1— S2 здесь производится из условия, чтобы рассматриваемая функция w = = arc sin z являлась аналитическим продолжением соответствующей функции действительной переменной. Из последнего условия следует, что должно быть взято то значение корня, которое положительно при положительных действительных значениях подкоренного выражения. Из (3.39) и (3.46) следует
