Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
w=re^ = Y~ae " (k = 0, 1, л- 1), (3.57)
где z = pelV и ф — одно из значений Arg z. Функция w = у z
является многозначной функцией, имеющей л различных ветвей. Будем
считать, что ф изменяется в пределах О ^ф eg 2л, и выберем ту ветвь п.—
функции W = Y z, которая является аналитическим продолжением дей-
п .--
сгвптельной функции и = у X действительной положительной переменной X > 0. Очевидно,_ это будет
W1 = Yае " (0 sg ф sg 2л). (3.58)
Областью S1 определения функции W1 является плоскость z, разрезанная по положительной части действительной оси х. Верхний берег разреза соответствует значению arg z = 0, нижний — значению arg .г = 2л. Очевидно, функция W1, являющаяся обратной функции z = wn, осуществляет взаимно однозначное отображение замкнутой области S1 плоскости z на сектор 0 sg arg w sg плоскости w. В силу общих
свойств аналитических функций (см. гл. 1, стр. 33) функция W1 в области S1 является однозначной аналитической функцией, произ-
. s 1 1
водная которой вычисляется по формуле W1 (Z)= — Z'1 = - р " X
1 -п /ф-
Xe " .
Рассмотрим теперь замкнутую область S2— ту же плоскость z с разрезом по положительной части действительной оси х, но на которой аргумент z изменяется в пределах 2л arg z sg 4л. Верхний берег разреза соответствует значению arg z= 2л, нижний — значению arg Z = 4л. Рассмотрим в этой области функцию
п _ /ф + 2я)
w2(z) = y 9е " (0<ф-sc 2л). (3.59)
Эта функция осуществляет взаимно однозначное отображение замкну-той области S2 на сектор —- ^sC arg w sg — плоскости w и является однозначной аналитической функцией z в области 9г. Замкнутые области S1 и S2 имеют общую часть границы T12 — луч arg z = 2л,— па которой совпадают функции W1 и W2, непрерывные в •^! + Fi2 и S2-\-T12 соответственно. Поэтому в силу принципа аналитического
100
аналитическое продолжение. элементарные функции [гл. 3
продолжения через границу функция w2(z) является аналитическим продолжением функции W1(Z) в область S2. С другой стороны, S1 и S2 фактически совпадают па плоскости z, так как точки комплексной плоскости с равными модулями и отличающимися па 2л аргументами совпадают. Поскольку функции (3.58) и (3.59) в одной п той же точке z имеют различные значения, то согласно предыдущим рассмотрениям, для того чтобы функция
W1(Z), гє^+Гі
F1(Z)=I ~7У; ~ / ; ;/'2' (з.бо>
{ W2 (z), z<=S2 + \b о,
была однозначной в области определения R1 = Sf1 + Si2 + T1 ,, мы должны считать, что многообразие R1 является римановой поверхностью, склеенной из листов S1 и Sf2. Очевидно, что' данное склеивание следует произвести по общей части границы T1,, лучу arg z — 2л, склеив нижний берег разреза области S1 с верхним берегом разреза области S2. Повторив наши рассмотрения, мы установим, что функция
^!(г) = ^' » (0<Ф^2п), (3.61)
определенная в замкнутой области S11+1 (2л/е -? arg z 2л (k + 1)), является аналитическим продолжением функции Wu(z), определенной в Sk. Заметим, что функция wnl(z) тождественно совпадает с функцией W1 (z). Поэтому естественно рассматривать однозначную аналитическую функцию
W1(Z), Z GE^1+ T1,,,
w2(z), гє^ + Гіі2 + Г„
F(z) =
(3.62)
Wn(Z), Z ЄЕ 5"„ + 1Vl,,.
определенную на римановой поверхности R = S1 + S2 +.. Sn + + T1,, + .. • +Tn-J1 „, склеенной указанным выше способом из п листов, представляющих собой плоскость z с разрезом по положительной части действительной оси х. При этом остаются свободными верхний берег разреза (arg z = 0) на первом листе S1 и нижний берег разреза (arg z = 2 л л) на п-м листе Sn. Чтобы сохранить непрерывность функции F (z) во всей области ее определения, мы произведем склеивание этих берегов разрезов (рис. 3.7) *). Функцию (3.62) назы-
п ,—
вают полной аналитической функцией w = y z, а построенное указанным выше способом замкнутое многообразие R—полной римановой
*) Для большей наглядности можно произвести указанные склеивания на разрезанных листах бумаги. При этом последнее склеивание оказывается физически невозможным и может быть произведено лишь мысленно,
понятие римановой поверхности
101
поверхностью этой функции. На каждом листе римановой поверхности определена отдельная ветвь данной многозначной функции.
Отметим еще следующее обстоятельство. Фиксируем на плоскости z некоторую точку Z0 и проведем через нее замкнутую кривую С. Тогда, если arg z при движении по кривой С изменяется непрерывным образом и кривая С пересекает линию разреза на плоскости z, то при полном обходе кривой С априори возможны два случая (рис. 3.8). В первом случае точка Z = O лежит вне кривой С. Поэтому, выйдя из точки Z = Z0 (arg Z0 = (J)11) на Л'-м листе *), мы после обхода этой кривой вернемся и исходную точку Z0 на рис. 3.7.
том же /?-м (arg z0 = ф„)
листе, хотя в процессе движения мы, пересекая линию разреза, переходили и на другие листы. Во втором случае точка т = 0 лежит внутри кривой С. Поэтому, выйдя из точки z = z0 (argz0 = (p0) на А-м листе, мы посте обхода кривой С вернемся в точку z = Z0
