Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
где функции \ (х, у) и T] (х, 3') стремятся к нулю при X —V X0,
/ f JC Tl (JC
у ->_у0 быстрее, чем Ax и А_у ( lim \ ' f — О, Hm 1 ' = О,
V[AZl-O 1Л21 IAzI-O \Лг\
1 Az I = ]/(Ах)2 -j- (Ay)2j. Составим теперь разностное отношение / (ZoH-^)—/ (Z0)^ где д2 = дх _|_/Ду;. и используя (1.18) и (1.17), преобразуем его к виду
f (Z0+Az)-f (Z0) _ Ах+ІАу іАх-Ау
Az - Ux(X0, J0) Ах+.Ау + ^ (Jf0, Уа)Ах+ІАу +
(SW = I(X, J/)+ пі(х, .у))-
Заметим, что при стремлении Az к нулю последнее слагаемое этой
формулы стремится к пулю, а первые остаются неизменными. Поэтому
.. f (z0+Az) — / (г0) г, , . существует предел Hm lajlj—^—— j- tZo), что и доказывает
Az-O Лг
дифференцируемость функции f(z) в точке Z0.
Если функция f(z) дифференцируема во всех точках некоторой области 5, а ее производная непрерывна в этой области, то функция f (z) называется аналитической функцией **) в области
Как известно ***), непрерывность частных производных является достаточным условием существования первого дифференциала (диффе-
*) См. вып. 1, стр. 479. **) Приведенное здесь определение аналитической функции отличается от обычно принятого в литературе дополнительным требованием непрерывности производной. Это сделано с целью облегчения последующих доказательств. Кроме того, как это следует из более подробного исследования, математическое содержание понятия аналитической функции при этом не меняется. В частности, можно показать, что при дополнительном требовании непрерывности функции / (z) в области S выполнение условий Коши — Римана (1.17) всюду в этой области является необходимым и достаточным для аналитичности f (z) и непрерывности всех ее производных в области 'S. См. подробнее А. И. M а р к у ш е в и ч, Теория аналитических функций, M., Гостехиздат, 1950. ***) См. вып. 1, стр. 483.
§ 4] дифференцирование функции комплексной переменной
33
ренцируемости) функции многих переменных. Поэтому из теорем 1.3 и 1.4 следует, что необходимым и достаточным условием аналитичности функции f(z) = u(x, y)J-iv(x, у) в области $> является существование в этой области непрерывных частных производных функций и(х, у) и v(x, у), связанных соотношениями Коши — Римана (1.17).
Понятие аналитической функции является основным понятием теории функций комплексной переменной в силу особой роли, которую играет класс аналитических функций как при решении многочисленных математических проблем, так и при различных приложениях функций комплексной переменной в смежных областях естествознания.
Соотношения Коши — Римана часто используются при исследовании различных свойств аналитических функций. При этом равенства (1.17) не являются единственно возможной формой соотношений Коши — Римана. Как может установить сам читатель, действительная и мнимая части аналитической функции f(z) = u(p, ф)-Ь™(р, ф) комплексной переменной г = ре'ф связаны соотношениями
ди_1_ди dv (I IQ)
dp ~~ pdtp' p dtp dp' K • )
где p и ф — полярные координаты точки (х, у). Аналогичным образом легко установить, что модуль и аргумент аналитической функции f(z) = R(x, у) е'ф(-х-У) связаны соотношениями
-«S- о*»
Отметим также, что соотношения (1.17) позволяют получить различные выражения для производной функции комплексной переменной
/' (z) = Kx (х, У) + Ivx (х, у) = vv (х, у) + ivx (х, у) =
= Ux (X, у) - illy (X, у) = Vy (х, у) - Iuv (х, у). (1.21)
При этом каждый раз производная /' (z) выражается через частные производные функций и(х, у) и v(x, у).
2. Свойства аналитических функций. Определение производной (1.16) позволяет перенести на аналитические функции комплексной переменной ряд свойств дифференцируемых функций действительной переменной.
1. Если функция f(z) является аналитической в области S-, то она непрерывна в этой области.
2. Если Z1(Z) и /2(z) суть аналитические функции в области
то их сумма и произведение также являются аналитическими функ-
f (z)
циями в области а функция ф (z) = гА4 является аналитической функ-
цней всюду, где /2 (г)фО.
3. Если w = Z(z) является аналитической функцией в области 9 плоскости комплексной переменной z, причем в области ее
34
функции комплексной переменной
[гл. 1
значений О на плоскости w определена аналитическая функция ? = ср(и>), то функция F (г) = ср [/(z)] является аналитической функцией комплексной переменной z в области
4. Если w=f(z) является аналитической функцией в области S, причем I f (z) I ф 0 в окрестности некоторой ТОЧКИ Z0 е S, то в окрестности точки w0=f(z0) области О значений функции f(z) определена обратная функция z = ср (w), являющаяся аналитической функцией комплексной переменной w. При этом имеет место соотношение /'(Z0)= -, 1 . ¦¦
Доказательство. Для существования обратной функции необходимо, чтобы уравнения и = и(х, у) и v = v(x, у) можно было разрешить относительно х, у в окрестности точки W0. Для этого достаточно *), чтобы в окрестности точки Z0 выполнялось условие
= UxVy — UyVx Ф 0.
В силу соотношений (1.17) это условие можно переписать в виде их-\-ъхф0. Но при условии \/'(г)\ф0 последнее имеет место. Тем самым существование обратной функции z = cp(w) доказано. Соста-
