Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Яд,-+оо *
теорему.
2. Критерий Коши. При исследовании сходимости последовательности во многих случаях удобным оказывается необходимый и достаточный признак сходимости последовательности, известный под названием критерия Коши.
Критерий Коши. Последовательность {zn} сходится тогда и только тогда, если для любого є > О можно указать такое N (г), что
\zn-zn+m\<z (1-7)
при n^N(z) и для любого номера т^О.
Доказательство. Для доказательства критерия Кошп мы опять воспользуемся эквивалентностью сходимости последовательности {zn) и последовательностей действительных чисел {ап} и {Ь„\, а также тем обстоятельством, что критерий Коши является необходимым и достаточным признаком сходимости последовательности действительных чисел **), Начнем с доказательства необходимости критерия Коши. Так как последовательность {zn} сходится, то сходятся и последовательности действительных чисел {ап} и {Ьп}. Отсюда следует, что
для любого е>0 и любого номера т > О | ап — ап + т \ <С -у ПРИ
п :>= AZ1 (є) и \ bn — bn^m\<i~ при я S=AZ2 (є). Выбирая в качестве
N (&) наибольшее из N1 и N2, в силу неравенства треугольника получаем \zn — zn + m\<e при n~>N(e).
Перейдем к доказательству достаточности признака Коши. Из соотношения (1.7) при n^N следуют неравенства ап — ап + т \ ^\zn — 2„+„г|<е и \bn — bn + m\^\zn — 2„+m|<e, являющиеся
*) См. вып. 1, стр. 82. **) См, вып. 1, стр. 85.
20
функции комплексной переменной
[гл. 1
достаточными условиями сходимости последовательностей {ап} и {Ьп}, т. е. сходимости последовательности \zn}. Тем самым доказано, что для сходимости последовательности {zn} с комплексными элементами необходимым и достаточным является выполнение критерия Коши.
3. Бесконечно удаленная точка. Введем понятие бесконечно удаленной точки комплексной плоскости, существенное для дальнейшего. Пусть дана последовательность комплексных чисел \гп) такая, что для любого положительного числа R найдется номер N, начиная с которого члены последовательности удовлетворяют условию \zn\^>R при п^з:N. Такую последовательность назовем неограниченно возрастающей. Согласно введенным ранее определениям данная последовательность, так же как и всякая ее подпоследовательность, предела не имеет. Такое особое положение неограниченно возрастающей последовательности вызывает ряд неудобств. Чтобы избежать этого, введем комплексное число z = со и будем считать всякую неограниченно возрастающую последовательность сходящейся к этому числу, которому мы поставим в соответствие бесконечно удаленную точку комплексной плоскости. Введем понятие полной комплексной плоскости, состоящей из обычной комплексной плоскости, и единственного бесконечно удаленного элемента — бесконечно удаленной точки *) z = со. Если мы будем пользоваться геометрической иллюстрацией, ставя в соответствие элементам неограниченно возрастающей последовательности \zn\ точки комплексной плоскости, то обнаружим, что точки рассматриваемой последовательности с возрастанием их номера располагаются вне концентрических кругов с центром в начале координат, радиусы которых могут быть сколь угодно большими. Отметим, что точки данной последовательности стремятся к точке со независимо от направления па полной комплексной плоскости.
В связи с введенными понятиями естественно называть окрестностью бесконечно удаленной точки множество точек z полной комплексной плоскости, удовлетворяющих условию \z\^>R, где R — достаточно большое положительное число.
Определим алгебраические свойства числа z = со. Из элементов неограниченно возрастающей последовательности {zn\ составим последовательность \—J-. Эта последовательность сходится к точке 2 = 0. Действительно, из предыдущих рассмотрений следует, что для любого є>0 можно указать такой номер N, что — <є при n^N.
Очевидно и обратное утверждение, т. е. если последовательность [I111] сходится к нулю и состоит из отличных от нуля элементов, то последовательность I J- сходится к бесконечно удаленной точке.
*) Заметим, что аргумент комплексного числа со не определен, так же как и его действительная и мнимая части.
понятие функции. непрерывность
21
В связи с этим полагают— = 0 и--„- = со. Вообще для бескосо о
иечно удаленной точки устанавливаются следующие соотношения: z ¦ со = со при z фО и 2 -(- со = со, — = О при z фею, которые естественны с точки зрения предельного перехода в операциях сложения и умножения. С этой точки зрения операция ¦^- ( естественно, является неопределенной.
§ 3. Понятие функции комплексной переменной. Непрерывность
1. Основные определения. Целью настоящего пункта является введение понятия функции комплексной переменной. Это понятие вводится так же как и понятие функции действительной переменной. Будем говорить, что на множестве E комплексной плоскости задана функция комплексной переменной, если задан закон, ставящий в соответствие каждой точке множества E некоторое комплексное число. Множество E будем называть множеством значений независимой переменной. Структура этого множества может быть весьма сложной и разнообразной, однако в теории функций комплексной переменной рассматривают множества специальной структуры. Для дальнейшего нам потребуется ряд вспомогательных понятий.
