Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Точка z называется внутренней точкой множества Е, если существует е-окреспюстъ точки z, все точки которой принадлежат множеству Е. Например, точка z множества | z | ssc 1 является внутренней, если \z\<i\; точка Z=I не является внутренней точкой данного множества.
Множество E называется областью, если выполняются следующие условия: 1) каждая точка множества E—внутренняя точка этого множества; 2) любые две точки множества E можно соединить ломаной, все точки которой принадлежат Е.
В данном определении области второе требование является условием связности области. Например, множество точек | z j < 1 образует область. Точно также и е-окрестность точки Z0 (\ г-— z0\ <є) образует область. Множество точек \z\^ \ не является областью, так как не все его точки являются внутренними. Также не являются областями множество точек j z \Ф 1 и множество | z j< 1, j -г — 4 | <Г 2 (рис. 1.3), поскольку они не являются связными.
Для обозначения области обычно применяются буквы S, Q, D.
Точка z называется внешней точкой области S, если существует такая е-окрестность точки z, все точки которой не принадлежат области S.
Точка z называется граничной точкой области S, если в любой ее е-окрестности содержатся как точки, принадлежащие области S,
22
функции комплексной переменной
[гл. i
Рис. 1.3.
так и точки, не принадлежащие области 'S. Например, точка z = 1 является граничной точкой области |,г|<1. Совокупность всех граничных точек образует границу области. В дальнейшем границу области мы будем обычно обозначать буквами у, Г, С. Простейшим примером Гранины области, очевидно, является кривая; однако граница области может состоять и из дискретного множества точек. Например, множество точек \г\фО образует на комплексной плоскости область, границей которой является точка z = 0.
Множество; полученное присоединением к области всех ее граничных точек, называется замкнутой областью. Замкнутую область обычно будем обозначать, ставя черту над символом области, например: S, Q, D.
В дальнейшем мы будем рассматривать те случаи, когда граница области представляет собой одну или несколько кусочно-гладких кривых *), которые, в частности, могут вырождаться в отдельные точки. При этом будут рассматриваться как односвязные, так и мпогосвязные области**). Например, область \z — i\<C'2 является односвязной областью, границей которой является окружность \z — /1 = 2; круговое кольцо 1 << ! ,г | < 2 (рис. 1.4) представляет собой двухсвязную область; множество точек z Ф 0 представляет собой односвязную область и т. д.
Если область S целиком лежит внутри некоторого круга конечного радиуса, то она называется ограниченной. В противном случае — неограниченной.
Мы будем рассматривать в основном те случаи, когда множество E значений комплексной переменной представляет собой область S или замкнутую область S комплексной плоскости. Тогда однозначная функция комплексной переменной г, заданная в области S, определяется законом, ставящим каждому значению z из области S в соответствие определенное комплексное число -т. Символически указанное соответствие будем записывать в виде
w=f(z). (1.8)
Рис. 1.4.
*) Понятие кусочно-гладкой кривой см. вып. 2, стр. 150. *) Понятие многосвязной области см. вып. 2, стр. 117.
§ 3]
понятие функции. непрерывность
23
Множество комплексных чисел w, соответствующих всем Z ЄЕ 'S, называется множеством значений функции f(z). Поскольку каждое комплексное число характеризуется парой действительных чисел, то задание комплексной функции w = u-{-lv комплексной переменной z--=x-\-iy эквивалентно заданию двух действительных функций двух действительных переменных, что может быть записано в виде
Функции и (х, у) и V (х, у) определены в области S плоскости действительных переменных х, у, соответствующей области S комплексной плоскости z. Функция и (х, у) называется действительной, а функция v(x, у) —мнимой частью функции w=f(z). В дальнейшем, если это не оговорено особо, мы всегда будем пользоваться представлением (1.9), обозначая действительную часть функции f(z) символом и, мнимую — символом V.
Часто рассматривают многозначные функции комплексной переменной, когда каждому значению z е S ставится в соответствие несколько комплексных чисел. В настоящей главе мы будем рассматривать только однозначные функции комплексной переменной. Подробное рассмотрение многозначных функций будет проведено ниже.
Множество значений w функции f(z) па комплексной плоскости w может иметь самую разнообразную структуру. В частности, это может быть область Q или замкнутая область О. В дальнейшем мы будем рассматривать только такие случаи.
Заданием функции w=f(z) устанавливается соответствие между точками области S комплексной плоскости z и точками области О комплексной плоскости w. Говорят, что при этом задано отображение области 'S на область О. Очевидно, устанавливается и обратное соответствие — каждой точке f eG ставится и соответствие одна или несколько точек z области S. В последнем случае можно говорить, что в области О задана многозначная функция комплексной переменной w. Функция, осуществляющая отображение области Q комплексной плоскости w на область S комплексной плоскости z, называется обратной функции f(z). В этой главе мы в основном будем рассматривать тот случай, когда обратная функция
