Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
*) Если точка Z0 является изолированной точкой множества E (т. е. существует такая к-окрестность точки Z0, в которой нет других точек множества Е), то функция / (z), по определению, считается непрерывной в точке Z0.
**) Заметим, что данные определения понятия непрерывности функции / (г) в точке Z0 справедливы не только в случае конечной точки Z0, но и в случае бесконечно удаленной точки z0 = co. При этом под предельным значением функции / (z) в точке со, в силу определения на стр. 24, надо понимать предел последовательности {f(zn)\, где {Zn] — любая неограниченно возрастающая последовательность. Во втором определении непрерывности условие |г — Z0 ! < б надо заменить на условие і z | > R.
***) Определение непрерывности функции двух действительных переменных по совокупности переменных см. вып. 1, стр. 471.
26
функции комплексной переменной
[гл. 1
необходимым и достаточным условием сходимости последовательности комплексных чисел является сходимость последовательностей их действительных и мнимых частей.
Это позволяет перенести на функции комплексной переменной основные свойства непрерывных функций двух действительных переменных *). Так, сумма и произведение двух функций комплексной переменной Z1 (г) и /г(г), непрерывных в области , также являются непрерывными функциями в этой области; функция ср (г) =
f (z)
= , , непрерывна в тех точках области 9, где А(г)фО, функ-
ция f(z), непрерывная на замкнутом множестве Е, ограничена по модулю на ? и т. д.
3. Примеры. Рассмотрим несколько простейших примеров.
1. В качестве первого примера функции комплексной переменной рассмотрим линейную функцию
f(z) = w = az + b. (1.12)
Здесь а и Ь — заданные комплексные постоянные. Будем считать, что афО, так как в противном случае функция (1.12) ставит в соответствие всем точкам z комплексной плоскости одно и то же комплексное число Ь. Функция (1.12) определена при всех значениях независимой переменной z. Областью ее задания является полная**) комплексная плоскость z. Каждому значению z соответствует только одно значение w, т. е. f(z) — однозначная функция z. Очевидно,
обратная функция ср (w) = z = — w—= U1W^b1 обладает теми
же свойствами, что и f(z). Тем самым /(г) —однолистная функция z на полной комплексной плоскости, устанавливающая взаимно однозначное соответствие между плоскостями z и w. . В силу непрерывности действительной и мнимой части f(z) по совокупности переменных х, у эта функция непрерывна на всей комплексной плоскости (при любых конечных значениях х, у). Чтобы выяснить геометрический смысл данного соответствия, рассмотрим вспомогательную функцию t, = az. На основании правила умножения комплексных чисел имеем
? = 1 а ] • I z j • {cos (arg а + arg z) -\- і sin (arg а + arg z)\.
Отсюда следует | ? [ = [ а \ ¦ j z |, arg ? = arg z + arg а. To есть функция ? = az любому комплексному числу z ставит в соответствие комплексное число ?, модуль которого в j a j раз больше модуля z,
*) См. вып. 1, стр. 474.
**) В дальнейшем мы будем говорить, что функция комплексной переменной / (г) определена на всей комплексной плоскости, если она определена для всех значений комплексного аргумента г, ограниченных по модулю, и будем говорить, что / (г) определена на полной комплексной плоскости, если она задана и при г = со. В нашем примере / (со) = со.
понятие функции. непрерывность
27
а аргумент получается из аргумента z прибавлением постоянного слагаемого — аргумента комплексного числа а. Геометрический смысл этого преобразования очевиден, подобное растяжение плоскости z в а раз и поворот этой плоскости как целого вокруг точки Z = O на угол arg а.
Возвращаясь к функции (1Л2), которую теперь можно записать в виде w = Z,-\-b, видим, что геометрический смысл последнего преобразования состоит в сдвиге плоскости z, характеризуемом вектором Ь.
Итак, линейная функция преобразует комплексную плоскость z в комплексную плоскость w путем подобного растяжения, поворота и сдвига.
2. В качестве следующего примера рассмотрим функцию
f'(*) = — • (1.13)
Эта функция также определена на полной комплексной плоскости, причем /(O) = OO и /(оо) = 0. Как и в нервом примере, устанавливаем, что f(z) является однозначной и однолистной функцией z, отображающей полную плоскость z на полную плоскость w. Легко установить, что функция f(z) является непрерывной на полной комплексной плоскости, за исключением точки z = 0. Для геометрической интерпретации данной функции воспользуемся показательной формой
записи комплексных чисел: w = ге1^ = --- е~'ч> (z = ре1'*). Это равенство
означает, что arg да = — arg z, \ w\ = -—-. Полученные соотношения
позволяют рассматривать отображение, осуществляемое данной функцией, как совокупность двух отображений: Z1 = Z1(Z), где 1 Z1J = j z |,
arg Z, = — arg z, и w = w (t), где | w \ = j^-j- , arg w = arg ?. Первое
отображение имеет геометрический смысл зеркального отражения относительно действительной оси, при котором точка z переходит в точку z, а второе —инверсии *) в единичном круге, переводящей
