Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что обход окружности | z \ = R сколь угодно большого
радиуса соответствует обходу на плоскости ? = — точки ? = 0 по
зо
функции комплексной переменной
[гл. 1
окружности |?)=р = —. Согласно пункту 2.3 имеет место соотношение -Q- = со. Поэтому будем считать, что обход окружности бесконечно большого радиуса (R ->со) есть обход бесконечно удаленной точки z = oo. Как легко видеть, в рассматриваемом примере при обходе точки w = со одна ветвь функции z = Уw переходит в другую. Таким образом, второй точкой разветвления функции z = Vw на комплексной плоскости w является точка w = со. Областью Д в которой определены однозначные ветви функции z = Vw> является любая область плоскости w, в которой невозможен обход по замкнутому контуру точек разветвления w = 0 и W = со. Такой областью является, например, вся плоскость w с разрезом вдоль положительной части действительной оси. При этом берега разреза являются границей данной области, так что при непрерывном движении внутри области мы не можем пересекать разрез (границу области).
Если считать, что аргумент точек w для первой ветви изменяется в пределах О << arg w << 2я, а для второй — в пределах 2я <; arg w <С <С 4я, то первая ветвь функции z = Vw производит отображение плоскости с разрезом на верхнюю полуплоскость z, а вторая ветвь данной функции отображает ту же область на нижнюю полуплоскость z.
Аналогичным образом легко показать, что функция w = zn (п > О —
целое число) производит отображение любого сектора -^— <argz'-<
<< 2л (k = О, 1, и— 1) плоскости z на полную плоскость w,
разрезанную по положительной части действительной оси. Тем самым эти секторы представляют собой области однолистности данной функции. Обратная функция z = Vw является многозначной, и точки W = O и W = Oo представляют собой ее точки разветвления.
§ 4. Дифференцирование функции комплексной переменной
1. Определение. Условия Коши—Римана. До сих пор теория функций комплексной переменной строилась в полной аналогии с теорией функций действительной переменной. Однако понятие дифференцируемой функции комплексной переменной, введенное по аналогии с соответствующим понятием теории функций действительной переменной, приводит к существенным различиям.
Дадим определение производной функции комплексной переменной. Пусть в области 3~ комплексной плоскости z задана функция f(z). Если для точки zu^? существует при Дг->0 предел (предельное значение) разностного отношения
f (Z0 +Иг)-f (Z0) Az
§ 4] дифференцирование функции комплексной переменной
31
то этот предел называется производной функции f(z) по комплексной переменной z в точке Z0 и обозначается f (z0), т. е.
Г (Z0)= lim f (го+ AzW(^ (u6)
Дг-+0 аг
Функция f(z) в этом случае называется дифференцируемой в точке Z0. Подчеркнем еще раз, что если существует предел (1.16), то он не зависит от способа стремления Az к нулю, т. е. от способа приближения точки z = z0-{- Az к точке Z0. Требование дифференцируемости функции комплексной переменной в точке Z0 накладывает весьма важные условия на поведение действительной и мнимой частей этой функции в окрестности точки (х0, у0). Эти условия известны под названием условий Коши—Римана, которые могут быть сформулированы в виде следующих теорем.
Теорема 1.3. Если функция f(z) = и (х, у) + Iv (х, у) дифференцируема в точке Z0 = X0 + Iy0, то в точке (х0, у0) существуют частные производные функций и (х, у) и v (х, у) по переменным х, у, причем имеют место следующие соотношения *)
ди (х0, у0) _ dv (х0, у0) Ou(X0, у0) _ dv (х0, у0)
дх ду ' д у дх
(1.17)
Доказательство. По условию теоремы существует предел (1.16), не зависящий от способа стремления Az к нулю. Положим Az=Ax и рассмотрим выражение
f'(z)= Hm и +Ах> ~и Уо>> і j Hm V(x« + Ax< Уо) — у(хо> У о) К °' Ах->0 Ах А*-*0 Ах
Из существования предела комплексного выражения следует существование пределов его действительной и мнимой частей. Поэтому в точке х0, V0 существуют частные производные по х функций и (х, у) и v(x, у) и имеет место формула
/' (Z0) = Ux (х0, у0) + Ivx (х0, у0).
Полагая Аг = іAy, находим
/' (?) =
= _/ Hm " ^0' У° + АУЇ — и -У") _1_ iim f (*о, у0 +Ay) —v(x0, у0) = ду-*о АУ Au^O АУ
= - 1иу (х0, у0) + vy (х0, у0).
Сравнивая две последние формулы, убеждаемся в справедливости соотношений (1.17).
Теорема 1.4. Если в точке (х0, у0) функции и(х, у) и v(x, у) дифференцируемы, а их частные производные связаны соотношениями (1.17), то функция f(z) = u(x, y) + iv(x, у) является
*) Соотношения (1.17) обычно и называются соотношениями Коши —Рима?
32
функции комплексной переменной
[гл. 1
дифференцируемой функцией комплексной переменной z в точке Z0 = X0 - г Iy0.
Доказательство. По определению дифференцируемое™ *), приращения функций и(х, у) и v(x, у) в окрестности точки (х0, у0) могут быть записаны в виде
и {X0 + Ах, у0 + Ay) - и {х0, у0) =
= "х (*о> Уо) A* + «у (-V0, Уо) +10. У), V (X0 + Ах, уп -f Ay) - V (х0, у0) =
= Vx (х0, у0) Ax + vy (х0, у0) Ay + т] (X, у), (1.18)
