Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Свешников А.Г. -> "Теория функций комплексной переменной" -> 6

Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.

Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной — М.: Наука, 2004. — 321 c.
Скачать (прямая ссылка): teorfunckomplekperemen2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 115 >> Следующая

Весьма важной является также другая форма представления комплексных чисел. Для определения положения точки на плоскости можно пользоваться полярными координатами (р, ф), где р — расстояние точки от начала координат, а ср — угол, который составляет радиус-вектор данной точки с положительным направлением оси абсцисс. Положительным направлением изменения угла ср считается направление против часовой стрелки (—оо<ср<со). Воспользовавшись связью декартовых и полярных координат: х = р cos ср, у = р sin ср, получим так называемую тригонометрическую форму записи комплексного числа:
Z = р (cos ср + і sin ф). (1.3)
При этом р обычно называют модулем, а ф — аргументом комплексного числа и обозначают р = ] г- J, ф = Arg z. Предшествующие формулы дают выражение действительной и мнимой частей комплексного числа через его модуль и аргумент. Легко выразить модуль и аргумент комплексного числа через его действительную
и мнимую части: р =уа2 -\- b2, tgф = — (при выборе из решений
последнего уравнения значения ф следует учесть знаки а и Ъ). Отметим, что аргумент комплексного числа определен не однозначно, а с точностью до аддитивного слагаемого, кратного 2л. В ряде случаев удобно через arg z обозначать значение аргумента, заключенное в пределах ф0 =sc arg z < 2л ~\- ф0, где ф0 — произвольное фиксированное число (например, ф0 = 0 илиф0 = —л). Тогда Arg z = arg z -j- 2?л (A = O, ±\, ±2, ...). Аргумент комплексного числа г- = 0 вообще не определен, а его модуль равен нулю. Два отличных от нуля комплексных числа равны между собой в том и только в том случае, если равны их модули, а значения аргументов или равны, или отличаются на число кратное 2л. Комплексно сопряженные числа имеют один и тот же модуль, а значения их аргументов при соответствую-
§ 1]
комплексное число
15
щем пыборе областей их изменения различаются знаком. Наконец, используя известную формулу Эйлера*) е!ф = cos ср sin ср, получаем так называемую показательную форму записи комплексного числа:
z = ре'ф.
(1.4)
Z1 +Z,
Отмеченное выше соответствие между множеством всех комплекс-пых чисел и плоскими векторами позволяет отождествить операции сложения и вычитания комплексных чисел с соответствующими операциями над векторами (рис. 1.1). При этом легко устанавливаются неравенства треугольника:
(1.5)
-1-1?-
¦Z4
\2Л\ —
'2 [
z% I
Модуль разности двух комплексных чисел имеет геометрический смысл Рис. 1.1.
расстояния между соответствующими
точками на комплексной плоскости. Отметим, кроме того, очевидные неравенства \z\^a, \z\^b.
Для выполнения операции умножения удобно пользоваться тригонометрической формой представления комплексных чисел. Согласно правилам умножения получаем **)
z = р (cos ф + і sin ф) = Z1 • Z2 =
= P1 (COS фх -)- / sin фх) р2 (cos ф2 -{- / sin ф2) =
= Р1Р2 (cos Фі cos Фа — sin Фі sin фа) + Ф1Р2 (sin фі cos фа + cos фі sin фа) =
= P1P2[COS (фх + ф2) -f І Sin (ф1 + ф,)] = Pl . р2 - Є1 (Фі + Ф2>.
Отсюда P = P1-P2, Ф = фі + Фа> т- е- модуль произведения равен произведению модулей, а аргумент — сумме аргументов сомножителей. В случае деления комплексных чисел при р2^0 имеет место аналогичное соотношение:
Z2 Pa
4. Извлечение корня из комплексного числа. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа удобны при рассмотрении алгебраических операций возведения комплексного числа в целую положительную степень и извлечения корпя из комплексного числа. Так, если Z = z", то p = pf и Ф = иФі.
*) Это выражение мы пока будем рассматривать как сокращенную форму записи комплексного числа 2 = cos (р + г sin (р. Полный смысл этого обозначения будет установлен в дальнейшем.
**) Эта формула показывает, что введенная выше функция <;'ф обладает свойством /фі .с'ф* ==<><'(фі + ф*>.
16
функции комплексной переменной
[гл. 1
п ,--
Комплексное число Z1 = у z называется корнем л-й степени из комплексного числа z, если z = z'f. Из этого определения следует, что
Pi = V P и Cp1
Как было отмечено выше, аргумент комплекс-
ного числа определен не однозначно, а с точностью до аддитивного слагаемого, кратного 2л. Поэтому из выражения для аргумента комплексного числа Z1.
Ф* = і + ;
где ф — одно из значений аргумента комплексного числа z, получим, что существуют различные комплексные числа, которые при возведении в л-ю степень равны одному и тому же комплексному числу Z.
п/--
Модули этих комплексных чисел одинаковы и равны у р, а аргументы различаются на число, крат-
ное Число различных значений корня л-й степени из комплексного числа z равно л. Точки на комплексной плоскости, соответствующие различным значениям корня л-й степени из комплексного числа z, расположены в вершинах правильного л-угольника, вписанного в окружность радиуса у^р с центром в точке Z = O. Соответствующие значения q>k получаются при k, принимающем значения It = 0, 1, л—1.
Классический анализ поставил задачу так расширить множество действительных чисел, чтобы не только элементарные алгебраические операции сложения и умножения, но и операция извлечения корня не выводила из этого расширенного множества. Как мы видим, введение комплексных чисел решает эту задачу.
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 115 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed