Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Z-I-Az
ношение ^ dt,== Az. Оценим выражение
Z
Ф (г + Дг)-Ф (g) _т I _ I ^т_т] ц ^
Z
^-^- max i/(t)-/(*) H Az J= max ]/(?)_/(*)}.
Iа''! С є [г, z+Az] С є [г, z+Аг]
В силу непрерывности функции f(z) в точке .г для любого положительного числа є может быть указано такое значение б>0, что при |Az]<;8 max \f(t) — f(z) j <є, т. е. для любого є>0 можно
С є [г, z+Az]
указать такое б > 0, что
Ф(2 + Дг)-Ф_(г)
Дг
Это и означает, что существует
;є при 0<|Аг|<6.
,. Ф(г + Дг) — Ф (г) rTV , ч ч -п
hm _1--U = Q) (z)=f(z). (1.51)
AZ-O aZ
Итак функция Ф(г), определенная интегралом (1.50), во всех точках области Э имеет непрерывную производную (функция /(г) по уело-
интеграл по комплексной переменной
45
вию теоремы непрерывна в Тем самым Ф(^) является аналитической функцией в области S1.
Доказанная теорема позволяет ввести понятие неопределенного интеграла функции комплексной переменной. Аналитическая функция Ф(г) называется первообразной функции f(z) в области &, если в этой области имеет место соотношение Ф' (z)=f(z). Очевидно, функция f(z) имеет множество различных первообразных, но, как легко доказать, все первообразные этой функции различаются между собой лишь постоянными слагаемыми *). Совокупность всех первообразных функции f(z) называется неопределенным интегралом от функции f(z).
Так же, как и в случае функции действительной переменной, имеет место формула
If(QdZ = F (z2)-F (Z1),
Z1
где F (z) — любая первообразная функции f(z). Действительно, интеграл, стоящий слева, не зависит от пути интегрирования. Поэтому его можно представить в виде
\f(t)cK=\f(i)dt-\f(t)dt,
Zi Za Zq
где Z0 — произвольная точка области 5. Согласно (1.50) каждый из интегралов в правой части этой формулы представляет собой значение определенной первообразной в соответствующих точках, а так как все первообразные различаются лишь на постоянную, то безразлично, какую первообразную мы подставим в данную формулу.
В качестве существенного для дальнейшего примера рассмотрим функцию
Z
/W=JJf. (1-52)
і
Так как подынтегральная функция является аналитической на всей комплексной плоскости z, за исключением точки г = 0, то выражение (1.52) имеет смысл при условии, что кривая интегрирования не проходит через точку z = 0. При этом в любой односвязной области 9 комплексной плоскости, не содержащей точку z = 0, функция f(z) является однозначной аналитической функцией z, не зависящей от выбора пути интегрирования в формуле (1.52). В качестве такой
*) Действительно, так как Ф' (г) = Ф; (г) — Ф^ (г) = 0, где Фі (г) и Ф2 (г) суть различные первообразные функции /(г), то из (1.21) следует, что все частные производные действительной и мнимой частей функции Ф (г) тождественно равны нулю, откуда по известной теореме анализа (см. вып. 1, гл. 8) получим Ф (г) = const.
46
функции комплексной переменной
[гл. 1
области будем рассматривать полную комплексную плоскость z, разрезанную по отрицательной части действительной оси, т. е. область ¦—п<С arg z<^n. Будем считать, что путь интегрирования в формуле (1.52) лежит целиком в области —n<argz-<n, т. е. не пересекает разреза и не проходит через точку z = 0. Тогда для действительных положительных значений z — x, выбрав в качестве пути интегрирования в формуле (1.52) соответствующий отрезок действительной оси, получим
X
/(*)=5jf=injc- (1-53)
Ї
То есть для положительных значений своего аргумента функция /(г) совпадает с логарифмической функцией действительной переменной. Поэтому для функции (1.52) в рассматриваемой области (—я< <Cargz<rc) сохраним прежнее обозначение, положив
г
Ї
Последнее равенство (в котором путь интегрирования выбирается указанным выше способом) можно рассматривать как определение логарифмической функции для всех комплексных значений ее аргумента, за исключением значений, лежащих на отрицательной части действительной оси z = X S=S 0. В дальнейшем (гл. 3) мы подробно изучим свойства этой функции, а сейчас лишь отметим, что в силу формулы (1.51) имеет место соотношение
О" Z)'= у, (1.55)
т. е. в области — л<С arg z < л производная логарифмической функции имеет то же выражение, что и для действительных положительных значений аргумента. Ниже будет установлено, что функция (1.54) является обратной к функции w = ez, введенной в § 4 настоящей главы.
§ 6. Интеграл Коши
1. Вывод формулы Коши. В предыдущем параграфе мы доказали теорему Коши. Эта теорема влечет за собой ряд важных следствий, в частности, позволяет установить определенную связь между значениями аналитической функции во внутренних точках области ее аналитичности и граничными значениями этой функции, К установлению данного соотношения мы сейчас и перейдем.
Пусть функция f(z) является аналитической в односвязной области 5, ограниченной контуром С. Возьмем произвольную внутреннюю точку Z0 и построим замкнутый контур Г, целиком лежащий в 5
интеграл коши
47
и содержащий функцию
точку Z0 внутри себя. Рассмотрим вспомогательную
/(2)
фО) = ;
-Zo
(1.56)
Функция ф (г), очевидно, является аналитической функцией всюду в области 3, за исключением точки Z0. Поэтому, если мы в области Ъ возьмем такой замкнутый контур у, лежащий внутри Г, чтобы точка Z0 попала внутрь области, ограниченной контуром у, то функция ф (г) будет аналитической в двухсвязной области заключенной между контурами Г и у. Согласно теореме Коши интеграл от функции ф (г) по кривой Г-j-у равен нулю:
