Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
всей комплексной плоскости; функция w = 1 является аналитической
всюду, за исключением точки z = 0. Так как определение производной (1.16) аналогично определению производной функции одной действительной переменной, то для производных данных функций комплексной переменной имеют место выражения:
(az + b)' = a, (г*)' = 2z, (1)' = -1. (1.25)
Рассмотрим функцию комплексной переменной w=ег, широко применяющуюся в приложениях. Определим эту функцию, задав
§ 4] дифференцирование функции комплексной переменной
37
аналитические выражения ее действительной и мнимой частей:
и (х, у) = ех cos_y, V (х, у) = ех smy. (1.26)
На действительной оси эта функция совпадает с действительной функцией ех действительного аргумента х и, как будет показано в дальнейшем, в комплексной области сохраняет основные свойства экспоненты. Поэтому для нее естественно сохранить обозначение
ez = ех (cos_y -f-1 sin у) = ех ¦ ёу. (1-27)
Покажем, что ez является аналитической функцией па всей комплексной плоскости z. Для этого проверим выполнение условий Коши — Римана (1.17)
du , dv du .. . dv
- = ех cos V == , а- = — е sin У = — дх ду' ду J дх
и заметим, что все производные в этих равенствах непрерывны по совокупности аргументов на всей плоскости х, у. Проводя вычисление производной ег по формулам (1.21), получаем
(ег)' = Ux + Wx = ех (cosy -f- і sin у) = ez.
Аналогично
(еаг)' = аеаг, (1.28)
где а—произвольная комплексная постоянная.
Рассмотрим еще две функции Z1 (z) и f2(z), определенные с помощью соотношений
Л (Z) = I (e« + е-'% U (z) = (elz - (1.29)
Как легко видеть, для действительных значений комплексной переменной z = x эти функции совпадают с cos х и sin х; поэтому для них естественно сохранить прежние обозначения. В дальнейшем мы подробно изучим свойства этих функций, а сейчас лишь отметим, что, как сложные функции от аналитической функции, cos z и sin z являются аналитическими на всей комплексной плоскости. Непосредственной проверкой легко убедиться, что (cos z)'= —sinz. Действительно, с помощью (1.28) получим
/і (г) = |- (еи - e~iz) =~f2 (z). (1.30)
Аналогично прямое вычисление дает
Л (г) +Д (г) ==1, (1.31)
так как согласно правилу возведения комплексного числа в целую степень из формулы (1.27) получим
(eazf = e2az. (1.32)
38
функции комплексной переменной
[гл. 1
§ 5. Интеграл по комплексной переменной
1. Основные свойства. Пусть на комплексной плоскости z задана кусочно-гладкая кривая С конечной длины L. Используя параметрическое представление кривой С, зададим координаты \, ц каждой ее точки уравнениями % = \{f), T) = T)(Y), где |(t) и r\(t) — кусочно-гладкие функции действительного параметра t, изменяющегося в пределах а^?=ёР (а и ? могут соответственно принимать значения ± со), удовлетворяющие условию [g' (t)]2 + [T)' (t)]2 ф 0. Задание координат \, т) точек этой кривой С эквивалентно заданию комплексной функции Z1 (t) = ? (t) + /г) (/) действительной переменной t.
Пусть в каждой точке Z1 кривой С определено значение функции /(?). Важным понятием в теории функций комплексной неременной является понятие интеграла от функции /(?) по кривой С. Это понятие вводится следующим образом. Разобьем кривую С на п частичных дуг точками деления ?0, ?ъ ?г, ..., ?„, соответствующими возрастающим значениям параметра ^(^+i>^)- Обозначим AZ,-t = ?j — и составим сумму
Ш= І;/(?Г)Д?г, (1-33)
J = I
где ?* —произвольная точка г'-й частичной дуги.
?слн при max І Д?,-1-> 0 существует предел сумм (1.33), не зависящий ни от способа разбиения кривой С, ни от выбора точек ZJ, то этот предел называется интегралом от функции /(?) по кривой С и обозначается
(1.34)
с »
Вопрос существования интеграла (1.34) сводится к вопросу о существовании некоторых криволинейных интегралов от действительной и и мнимой V частей функции /(г). В самом деле, записав /(ZJ) = = u(Pf)+ Iv (Pt), А?? = Д& + /Дт1,, где Рг(|*, ті?) —точка кривой С на плоскости х, у, мы можем представить выражение (1.33) в виде
5 (li, U) = |] [и (Pt) Al1 - V (Pf)Ai]1} +1 ? {и (Pf) At1, + V (Pf) Ah}.
Действительная и мнимая части 5(?;, ZJ) представляют собой интегральные суммы криволинейных интегралов второго рода
^udl — vdi] и [udx] + vdl (1.35)
с с
соответственно *), откуда и следует высказанное утверждение. Под-
*) Определение криволинейных интегралов и теорему существования см. вып. 2, сгр. 150.
интеграл по комплексной переменной
34
черкнем, что для существования криволинейных интегралов (1.35), а тем самым и интеграла (1.34) но комплексной переменной достаточно лишь кусочной непрерывности функций uwv действительных переменных. Это означает, что интеграл (1.34) существует и в случае неаналитической функции /(г), если эта функция является кусочно-непрерывной.
Итак, интеграл (1.34) представим в виде
5/(S) dl = \ и dl-V dr\ + і \ и dr\ -fx; dg.
(1.36)
Это соотношение может само служить определением интеграла от функции f(z) по кривой С. Из него следует ряд свойств, являющихся очевидным следствием соответствующих свойств криволинейных интегралов:
