Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
1. I M)dl = - \fQdl (1.37)
AB
BA
2.
\ f (I) dl + \f (DdI= \ f(l)dl.
3. Если а — комплексная постоянная, то
4.
0.
\af(l)dl = a\f(l)dl. с с
\ {Л(D +Л(I)} dl=\A(I)dl + \/2(Ddl.
С CC
\f(l)dl ^\\f(l)\ds,
где ds — дифференциал длины дуги кривой С, а интеграл, справа, является криволинейным интегралом первого рода, тельпо, в силу неравенства треугольника имеем
(1.38)
(1.39)
(1.40)
(1.41)
стоящий Действи-
\f(l)dl
lim 2/(Sf)AS;
max j А?; [ ->0 (- = 1
< Hm 2 1/(Sf)HAS,-!= \ \№\ds.
max і Д?; 1 - 0 ; = , с
Если max j/(S)I = M и L—длина дуги кривой С, то
\f(l)dl </H-L. (1.42)
с
6. Имеет место следующая формула замены переменной интегрирования:
\f(z)dz=\f[y(DW(l)dl, (1.43)
40
функции комплексной переменной
[гл. 1
где z = ф (Q — аналитическая функция ?, устанавливающая взаимнооднозначное соответствие между кривыми С и Г. В частности,
P
\f(z)dz = \f[z(t)]z' (t)dt, (1.44)
С а
где z = z(t) есть параметрическое задание кривой С, a z (а) и z (?) суть начальная и конечная точки последней.
Пример. В качестве существенного для дальнейшего примера вычисления интеграла по комплексной переменной рассмотрим интеграл
(1-45)
ср
где кривая Cp представляет собой окружность радиуса р с центром в точке Z0, обходимую против часовой стрелки. Воспользовавшись параметрической формой задания кривой Ср: ? = Z0 + р<?'ф (Osgcpsg: 2л), получим
2л 2я
/=ji$g*=/j*P = 2„t (1.46)
'о о
Отсюда следует, что интеграл (1.45) не зависит ни от р, ни от z0.
Замечание. Формула (1.36), в силу которой интеграл по комплексной переменной представляет собой комплексное число, действительная и мнимая части которого являются криволинейными интегралами второго рода, а также соотношение (1.44) позволяют непосредственно перенести понятие несобственного интеграла от функции действительной переменной *) на случай комплексной переменной. В нашем курсе мы будем главным образом иметь дело с несобственными интегралами первого рода — интегралами по бесконечной кривой С. Несобственный интеграл первого рода по бесконечной кривой С называется сходящимся, если существует предел последовательности интегралов ^ f(Q dt, по любой последовательности конечных кри-
вых Cn, составляющих часть С, при Cn, стремящихся к С, причем этот предел не зависит от выбора последовательности {Cn}. Если лишь при определенном выборе последовательности {Cn} существует предел последовательности интегралов ^f(QdZ1, то несобственный интеграл
называется сходящимся в смысле главного значения.
В дальнейшем мы будем рассматривать интегралы от функций, аналитических в некоторой ограниченной области, причем нас в основном будет интересовать тот случай, когда границей области является
*) См. вып. 2, стр. 358.
интеграл по комплексной переменной
41
кусочно-гладкая замкнутая кривая, не имеющая самопересечений. Кусочно-гладкую замкнутую кривую, не имеющую точек самопересечения, будем называть замкнутым контуром. Если функция z(t) (ее =?: t ?) задает параметрически замкнутый контур, то она удовлетворяет условию z (tt) ф z (tk) при tt ф tk, за исключением случая ti = a, tk = $. Интеграл (1.34) по замкнутому контуру часто называется контурным интегралом.
2. Теорема Коши. Поскольку значение контурного интеграла зависит от направления интегрирования, условимся в качестве положительного направления обхода контура принимать направление, при котором внутренняя область, ограниченная данным замкнутым контуром, остается слева от направления движения. Интегрирование в положительном направлении будем обозначать символом ^f(z)dz
или просто ^ f(z) dz, интегрирование в отрицательном направлении —
с
символом ^ f(z) dz.
с-
Свойства интегралов по замкнутому контуру от функций, аналитических внутри области, ограниченной данным контуром, во многом определяются известными свойствами криволинейных интегралов второго рода *). Как известно **), для криволинейных интегралов по замкнутому контуру имеет место следующее утверждение: если функции Р(х, у) и Q(x, у) непрерывны в замкнутой области 5, ограниченной кусочно-гладким контуром С, а их частные производные первого порядка непрерывны в то
^Pdx + Qdy=^^~^r)dxdy. (1.47)
с $
Перейдем теперь к доказательству основного положения данного параграфа.
Теорема 1.5 (теорема Коша). Пусть в односвязной области 5 задана однозначная аналитическая функция f(z). Тогда интеграл от этой функции f(z) по любому замкнутому контуру Г, целиком лежащему в области 5, равен нулю.
Доказательство. Согласно формуле (1.36)
\ /(D ^>=\ и dx — Vdy-\-Vdx Jr иdy. г г г
*) См. вып. 2, стр. 168. Напомним, что по принятому нами определению контуры интегрирования всегда являются кусочно-гладкими кривыми.
**) В вып. 2 эта теорема доказана при дополнительном условии ограниченности частных производных функций PhQb области введенном с целью облегчения доказательства. В случае кусочно-гладкой границы это условие может быть снято с помощью дополнительного предельного перехода. Мы здесь не будем приводить подробное доказательство, а ограничимся лишь данным замечанием.
