Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Свешников А.Г. -> "Теория функций комплексной переменной" -> 20

Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.

Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной — М.: Наука, 2004. — 321 c.
Скачать (прямая ссылка): teorfunckomplekperemen2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 115 >> Следующая

Г+ V-
Изменив направление интегрирования во втором интеграле, это равенство можно переписать в виде
Г+ V+
Рис. 1.9.
Поскольку интеграл, стоящий слева, не зависит от выбора контура Y, т0 этим свойством обладает и интеграл, стоящий справа. Для дальнейших рассмотрений удобно в качестве контура интегрирования Y выбрать окружность Yp некоторого радиуса р с центром в точке Z0 (рис. 1.9). Положив ? = Z0ре'ф, имеем

г+ о
Последний интеграл преобразуем следующим образом:
2я 2Я 2я
5 /(Q сіф = \ [/(О -f(z0)] dq> + lf(z0) dtp =
0 0 о

= $ [/(D-/(%)] + 2л /(Z0). (1.58)
о
Устремим теперь р к нулю. Так как f(z) — аналитическая, а следовательно, непрерывная функция в области то для любого положительного числа є можно указать такое значение р, что J Z(D — Z(^o) I < <^ в для I ? — Z0 1 < P- Отсюда следует, что при р ->- 0 существует предел

Hm$[/(D-/(z0)] dq> = 0.
P-Oq
48
функции комплексной переменной
[гл. 1
Так как в формуле (1.58) последнее слагаемое не зависит от р, то

^ /(?)й?Ф = 2я/(гв), а следовательно, ^ dt, = 2Mf(Z0), и согласно
5 vh
(1.57)
г
Интеграл, стоящий в правой части (1.59), выражает значение аналитической функции f(z) в некоторой точке Z0 через ее значения на любом контуре Г, лежащей в области аналитичности функции f(z) и содержащем точку Z0 внутри. Этот интеграл и называется интегралом Коши. Формула (1.59) часто называется формулой Коши.
Замечание 1. В формуле (1.59) интегрирование производится по замкнутому контуру Г, целиком лежащему в области аналитичности функции f(z) и содержащему внутри точку Z0. При дополнительном условии непрерывности f(z) в замкнутой области 5 аналогичная формула имеет место, в силу теоремы 1.6, и при интегрировании по границе С области 5.
Замечание 2. Проведенные рассмотрения остаются справедливыми и' в случае многосвязной области 3>. При этом для вывода основной формулы (1.59) следует рассматривать такой замкнутый контур Г, который может быть стянут к точке Z0, все время оставаясь в области 5. Тогда легко показать, что при условии непрерывности функции f(z) в замкнутой области 5 с кусочно-гладкой границей формула (1.59) остается справедливой при интегрировании в положительном направлении по полной границе С данной многосвязной области.
2. Следствия из формулы Коши. Сделаем ряд замечаний по поводу формулы (1.59).
1 С f (О
1. Интеграл вида -0— \ у-dt, по замкнутому контуру Г, цели-
г
ком лежащему в области S> аналитичности функции f(z), имеет смысл для любого положения точки Z0 на комплексной плоскости при условии, что эта точка не лежит на контуре Г. При этом, если точка Z0 лежит внутри Г, то значение интеграла равно /(z0); если точка Z0 лежит вне Г, значение интеграла равно нулю, поскольку в этом случае подынтегральная функция является аналитической всюду внутри Г. Итак,
2ш 3 ?-z„ * I о, 20 — вне Г. V '
1 С / С)
При г0єГ интеграл 1(Z0)=--. \ dt, в обычном смысле
г
не существует, однако при дополнительных требованиях на поведе-
интеграл коши
49
пне функции /(?) на контуре Г этому интегралу может быть придан определенный смысл. Так, если функция /(?) удовлетворяет на контуре Г условию Гёльдера *)
l/(y-/(?8)l<tf|?i-?2lv, о<т<1,
то существует главное значение по Коши интеграла / (z„)
гє
где Ге представляет собой часть контура Г, лежащую вне круга \z— Z0|<8. При этом
V.p.I(z0)=\f(z0).
2. Пусть f(z) — аналитическая функция в односвязпой области Э и Z0 — некоторая внутренняя точка этой области. Опишем из этой точки как из центра окружность радиуса R0, целиком лежащую в области 3*. Тогда но формуле Коши получим
Но на окружности С я, ? = Z0-f/?0е'ф, поэтому

К***= І + R0^) dq>, (1.61)
о
или
./<*Л = 5їк$/(0*. (1.62)
Эта формула носит название формулы среднего значения и выражает значение аналитической функции в центре окружности как среднее из ее граничных значений.
3. Принцип максимума модуля аналитической функции. Пусть функция f(z) является аналитической в области Sf и непрерывной в замкнутой области $>. Тогда или \ f(z) \ == const, или максимальные значения j/(z)| достигаются только на границе области.
Действительная функция двух действительных переменных
I /(*)! = КняС*, JO+ «2C*, JO
по условию является непрерывной в замкнутой области. Поэтому она достигает своего максимального значения M в какой-либо точке
*) По поводу условий Гёльдера см. вып. 2.
50
функции комплексной переменной
[гл. 1
(х0, у0) данной области. То есть
z0 = х0 -j- iy п,
мн/(*о)\^\т\. -5 0-63)
Предположим, что точка Z0 — внутренняя точка области &. Построим в области 5 круг K0 некоторого радиуса R с центром в точке Z0 и запишем формулу среднего значения для Z0 и R. Учтя (1.63), получим
2лМ =

\ |/(о|гіф<2яЛІ.
Следовательно,

$|/(0|Ар = 2лЛІ. (1.64)
Из этого соотношения в силу непрерывности функции /(S) на контуре интегрирования и неравенства (1.63) следует, что
|/©! = Ж при Z = z0 +Re^ (1.65)
Действительно, по (1.63) функция 1/(S)I не может быть больше M ни в одной точке контура интегрирования. Если мы предположим, что в какой-либо точке S0 контура интегрирования функция |/(?0) строго меньше М, то из непрерывности 1/(S)I следует, что 1/(S) строго меньше Жив некоторой окрестности точки S0, т. е. можно указать отрезок [фх, ф2] интегрирования, на котором
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 115 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed